Em cada um dos casos abaixo, a partir de uma base \beta, determine uma base ortonormal para o espaço vetorial \mathbb{V} munido com um produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle.
\mathbb{V}=\mathbb{R}^{2},\langle u, v\rangle=2 u_{1} v_{1}+u_{1} v_{2}+u_{2} v_{1}+u_{2} v_{2} e \left.\beta=\{(-1,1),(1,1)\}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá:
\mathbb{V}=\mathbb{R}^{2}.
O produto interno é
\langle u,v\rangle = 2u_{1}v_{1}+u_{1}v_{2}+u_{2}v_{1}+u_{2}v_{2}.
A base dada é \beta=\{(-1,1),(1,1)\}.
O que se pede: a partir de \beta, determinar uma base ortonormal de \mathbb{V} em relação ao produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle.

Passo 2

Primeiro representamos o produto interno por uma matriz simétrica G tal que
\langle u,v\rangle = u^{T} G v.
Comparando com a fórmula dada, os coeficientes correspondem a
G=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},
porque
u^{T}Gv = [u_{1}\;u_{2}] \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix} =2u_{1}v_{1}+u_{1}v_{2}+u_{2}v_{1}+u_{2}v_{2}.]

Passo 3

Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt relativo a esse produto interno. A ideia geral:
  • Tomamos b_{1}=(-1,1) e b_{2}=(1,1) (os vetores da base \beta).
  • Definimos u_{1}=b_{1}.
  • Para o segundo vetor, usamos
u_{2}=b_{2}-\frac{\langle b_{2},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}\,u_{1}.
  • Depois normalizamos: e_{k}=u_{k}/\sqrt{\langle u_{k},u_{k}\rangle}.
    Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno dado; \langle x,y\rangle é um número e \langle x,x\rangle é o quadrado da norma de x.

Passo 4

Calculemos \langle b_{1},b_{1}\rangle. Primeiro G b_{1}:
G b_{1}= \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Então
\langle b_{1},b_{1}\rangle = b_{1}^{T}(G b_{1}) = (-1)\cdot(-1)+1\cdot 0 = 1.]

Passo 5

Como \langle b_{1},b_{1}\rangle=1, o vetor b_{1} já tem norma 1. Logo o primeiro vetor ortonormal é
e_{1}=b_{1}=(-1,1).

Passo 6

Agora calculamos \langle b_{2},b_{1}\rangle. Primeiro G b_{2}:
G b_{2}= \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Então
\langle b_{2},b_{1}\rangle = b_{2}^{T}(G b_{1}) = b_{1}^{T}(G b_{2}) = (-1)\cdot 3 + 1\cdot 2 = -1.
(Aqui usei a simetria para facilitar: \langle b_{2},b_{1}\rangle=\langle b_{1},b_{2}\rangle.)]

Passo 7

Aplicamos a fórmula de Gram–Schmidt:
u_{2}=b_{2}-\frac{\langle b_{2},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}\,u_{1} = b_{2}-\frac{-1}{1}\,b_{1}=b_{2}+b_{1}.
Calculando as coordenadas:
u_{2}=(1,1)+(-1,1)=(0,2).

Passo 8

Calculemos \langle u_{2},u_{2}\rangle. Primeiro G u_{2}:
G u_{2}= \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[4pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Então
\langle u_{2},u_{2}\rangle = u_{2}^{T}(G u_{2}) = 0\cdot 2 + 2\cdot 2 = 4.
A norma de u_{2} é \sqrt{4}=2. Portanto o segundo vetor ortonormal é
e_{2}=\frac{u_{2}}{2}=\frac{(0,2)}{2}=(0,1).]

Passo 9

Verificação rápida: \langle e_{1},e_{1}\rangle=1 (já vimos), \langle e_{2},e_{2}\rangle=1 (pois normalizamos) e
\langle e_{1},e_{2}\rangle = \langle (-1,1),(0,1)\rangle =2(-1)\cdot 0 + (-1)\cdot 1 + 1\cdot 0 + 1\cdot 1 = -1+1 = 0,
logo são ortogonais e normalizados.

Resposta

\{(-1,1),(0,1)\}

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