Em cada um dos casos abaixo, a partir de uma base
, determine uma base ortonormal para o espaço vetorial
munido com um produto interno
.
e
.
Passo 1
O enunciado dá:
.
O produto interno é
O produto interno é
A base dada é
.
O que se pede: a partir de , determinar uma base ortonormal de
em relação ao produto interno
.
O que se pede: a partir de
Passo 2
Primeiro representamos o produto interno por uma matriz simétrica
tal que
Comparando com a fórmula dada, os coeficientes correspondem a
porque
Passo 3
Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt relativo a esse produto interno. A ideia geral:
- Tomamos
e (os vetores da base ). - Definimos
. - Para o segundo vetor, usamos
- Depois normalizamos:
.
Aquié o produto interno dado; é um número e é o quadrado da norma de .
Passo 4
Calculemos
. Primeiro
:
Então
Passo 5
Como
, o vetor
já tem norma
. Logo o primeiro vetor ortonormal é
Passo 6
Agora calculamos
. Primeiro
:
Então
(Aqui usei a simetria para facilitar:
.)]
Passo 7
Aplicamos a fórmula de Gram–Schmidt:
Calculando as coordenadas:
Passo 8
Calculemos
. Primeiro
:
Então
A norma de
é
. Portanto o segundo vetor ortonormal é
Passo 9
Verificação rápida:
(já vimos),
(pois normalizamos) e
logo são ortogonais e normalizados.