Em cada um dos casos abaixo, a partir de uma base
, determine uma base ortonormal para o espaço vetorial
munido com um produto interno
.
o produto interno usual e
.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
com o produto interno usual (produto escalar) e uma base
formada pelos vetores
O que nos é pedido: a partir de
, determinar uma base ortonormal de
relativa a esse produto interno. Ou seja, encontrar vetores unitários mutuamente ortogonais que gerem
.
Passo 2
Lembrete das ferramentas principais (explicadinho, sem pressa):
- O produto interno usual entre dois vetores
e é
- A norma (comprimento) de um vetor
é
- Para transformar uma base qualquer em uma base ortonormal usamos o processo de Gram–Schmidt. A etapa básica é: dado um vetor
e um vetor já ortogonal , a projeção de em é
Subtraindo as projeções sobre os vetores já obtidos obtemos um vetor ortogonal aos anteriores; depois normalizamos (dividimos pela norma) para obter o vetor unitário.
Passo 3
Aplicando Gram–Schmidt ao conjunto
. Começamos definindo
Calculemos
com calma:
portanto
O primeiro vetor ortonormal será
Passo 4
Agora tratamos
. Primeiro calculamos a projeção de
sobre
:
Como
, a projeção é zero e logo
já é ortogonal a
. Podemos tomar
Calculemos sua norma:
logo
Normalizando:
Passo 5
Agora
. Precisamos subtrair projeções sobre
e
. Primeiro:
Novamente
é ortogonal a
. Em seguida:
E já sabemos
. Então a projeção de
sobre
é
Passo 6
Subtraímos essa projeção de
para obter um vetor ortogonal a
e
:
Façamos a subtração componente a componente:
Para ver os números sem frações podemos multiplicar por
:
. Isso mostra que
é proporcional a
. Verificação rápida (opcional):
e
— de fato essas igualdades se seguem dos cálculos anteriores.
Passo 7
Calculemos a norma de
. Usando
,
Portanto
Para simplificar a expressão do vetor unitário, usemos a forma proporcional
. A norma de
é
Logo a normalização dá
(Verificação rápida:
e
.)
Passo 8
Resumo e checagem final (sem muita matemática chata): os três vetores
são mutuamente ortogonais e têm norma
. Assim eles formam uma base ortonormal de
.