Em cada um dos casos abaixo, a partir de uma base \beta, determine uma base ortonormal para o espaço vetorial \mathbb{V} munido com um produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle.
\mathbb{V}=\mathbb{R}^{3},\langle\cdot, \cdot\rangle o produto interno usual e \left.\beta=\{(2,1,1),(1,0,-2),(0,2,-2)\}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial \mathbb{V}=\mathbb{R}^{3} com o produto interno usual (produto escalar) e uma base \beta formada pelos vetores
v_{1}=(2,1,1),\qquad v_{2}=(1,0,-2),\qquad v_{3}=(0,2,-2).
O que nos é pedido: a partir de \beta, determinar uma base ortonormal de \mathbb{V} relativa a esse produto interno. Ou seja, encontrar vetores unitários mutuamente ortogonais que gerem \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Lembrete das ferramentas principais (explicadinho, sem pressa):
  • O produto interno usual entre dois vetores x=(x_{1},x_{2},x_{3}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3}) é
\langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.
  • A norma (comprimento) de um vetor x é
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}.
  • Para transformar uma base qualquer em uma base ortonormal usamos o processo de Gram–Schmidt. A etapa básica é: dado um vetor v e um vetor já ortogonal u, a projeção de v em u é
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Subtraindo as projeções sobre os vetores já obtidos obtemos um vetor ortogonal aos anteriores; depois normalizamos (dividimos pela norma) para obter o vetor unitário.

Passo 3

Aplicando Gram–Schmidt ao conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\}. Começamos definindo
u_{1}=v_{1}.
Calculemos \|u_{1}\| com calma:
\langle u_{1},u_{1}\rangle = 2^{2}+1^{2}+1^{2}=4+1+1=6,
portanto
\|u_{1}\|=\sqrt{6}.
O primeiro vetor ortonormal será
e_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|}=\frac{(2,1,1)}{\sqrt{6}}.

Passo 4

Agora tratamos v_{2}. Primeiro calculamos a projeção de v_{2} sobre u_{1}:
\langle v_{2},u_{1}\rangle = 1\cdot 2 + 0\cdot 1 + (-2)\cdot 1 = 2+0-2 = 0.
Como \langle v_{2},u_{1}\rangle=0, a projeção é zero e logo v_{2} já é ortogonal a u_{1}. Podemos tomar
u_{2}=v_{2}=(1,0,-2).
Calculemos sua norma:
\langle u_{2},u_{2}\rangle = 1^{2}+0^{2}+(-2)^{2}=1+0+4=5,
logo
\|u_{2}\|=\sqrt{5}.
Normalizando:
e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|}=\frac{(1,0,-2)}{\sqrt{5}}.

Passo 5

Agora v_{3}. Precisamos subtrair projeções sobre u_{1} e u_{2}. Primeiro:
\langle v_{3},u_{1}\rangle = 0\cdot 2 + 2\cdot 1 + (-2)\cdot 1 = 0+2-2 = 0.
Novamente v_{3} é ortogonal a u_{1}. Em seguida:
\langle v_{3},u_{2}\rangle = 0\cdot 1 + 2\cdot 0 + (-2)\cdot (-2) = 0+0+4 = 4.
E já sabemos \langle u_{2},u_{2}\rangle=5. Então a projeção de v_{3} sobre u_{2} é
\operatorname{proj}_{u_{2}}(v_{3})=\frac{4}{5}\,u_{2}=\frac{4}{5}(1,0,-2)=\left(\tfrac{4}{5},0,-\tfrac{8}{5}\right).

Passo 6

Subtraímos essa projeção de v_{3} para obter um vetor ortogonal a u_{1} e u_{2}:
u_{3}=v_{3}-\operatorname{proj}_{u_{2}}(v_{3}) = (0,2,-2) - \left(\tfrac{4}{5},0,-\tfrac{8}{5}\right).
Façamos a subtração componente a componente:
u_{3}=\left(0-\tfrac{4}{5},\;2-0,\;-2-(-\tfrac{8}{5})\right)=\left(-\tfrac{4}{5},\;2,\;-\tfrac{2}{5}\right).
Para ver os números sem frações podemos multiplicar por 5: 5u_{3}=(-4,10,-2). Isso mostra que u_{3} é proporcional a (-4,10,-2). Verificação rápida (opcional): \langle u_{3},u_{1}\rangle=0 e \langle u_{3},u_{2}\rangle=0 — de fato essas igualdades se seguem dos cálculos anteriores.

Passo 7

Calculemos a norma de u_{3}. Usando u_{3}=\left(-\tfrac{4}{5},2,-\tfrac{2}{5}\right),
\langle u_{3},u_{3}\rangle = \left(-\tfrac{4}{5}\right)^{2} + 2^{2} + \left(-\tfrac{2}{5}\right)^{2} = \tfrac{16}{25} + 4 + \tfrac{4}{25} = \tfrac{20}{25} + 4 = \tfrac{4}{5} + 4 = \tfrac{24}{5}.
Portanto
\|u_{3}\|=\sqrt{\tfrac{24}{5}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{30}}{5}.
Para simplificar a expressão do vetor unitário, usemos a forma proporcional 5u_{3}=(-4,10,-2). A norma de 5u_{3} é
\|5u_{3}\|=\sqrt{(-4)^{2}+10^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+100+4}=\sqrt{120}=2\sqrt{30}.
Logo a normalização dá
e_{3}=\frac{5u_{3}}{\|5u_{3}\|}=\frac{(-4,10,-2)}{2\sqrt{30}}=\frac{(-2,5,-1)}{\sqrt{30}}.
(Verificação rápida: \|e_{3}\|=1 e \langle e_{3},e_{1}\rangle=\langle e_{3},e_{2}\rangle=0.)

Passo 8

Resumo e checagem final (sem muita matemática chata): os três vetores
e_{1}=\frac{(2,1,1)}{\sqrt{6}},\qquad e_{2}=\frac{(1,0,-2)}{\sqrt{5}},\qquad e_{3}=\frac{(-2,5,-1)}{\sqrt{30}}
são mutuamente ortogonais e têm norma 1. Assim eles formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{(2,1,1)}{\sqrt{6}}
\displaystyle \frac{(1,0,-2)}{\sqrt{5}}
\displaystyle \frac{(-2,5,-1)}{\sqrt{30}}

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