Em cada um dos casos decida se a sentença é verdadeira para quaisquer conjuntos
e
. Em caso afirmativo, prove. Em caso negativo, dê um contraexemplo.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, para quaisquer conjuntos
,
e
, vale sempre a igualdade
Aqui o conteúdo é teoria de conjuntos, em particular diferença de conjuntos e união. Para decidir se é sempre verdadeira, podemos tentar provar a inclusão em ambos os sentidos ou então encontrar um contraexemplo.
Passo 2
Para avaliar se duas expressões de conjuntos são iguais, normalmente fazemos duas inclusões:
-
. -
.
Se alguma delas falhar (ou ambas), a igualdade não vale em geral.
Passo 3
Vamos buscar um contraexemplo simples. Queremos um elemento que esteja em
mas não esteja em
. Note que qualquer elemento de
está na união da esquerda; se ainda por cima esse elemento não pertencer a
, então ele não estará em
.
Escolhemos por exemplo
Passo 4
Calculemos cada lado no nosso exemplo:
-
, pois . -
, pois . - Logo
- Por outro lado
Passo 5
No contraexemplo, a esquerda vale
e a direita vale
. Como
, a igualdade não é verdadeira em geral.
Resposta
A sentença é falsa. Contraexemplo:
,
,
dá
.