Em cada um dos casos decida se a sentença é verdadeira para quaisquer conjuntos A, B e C. Em caso afirmativo, prove. Em caso negativo, dê um contraexemplo.
\overline{A-B}=B-A

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a igualdade
\overline{A - B} \;=\; B - A
vale para quaisquer conjuntos A e B. O conteúdo é teoria de conjuntos, em especial as operações de diferença e complemento. Para analisar, vamos usar a lei de De Morgan e a definição de diferença de conjuntos.

Passo 2

Começamos reescrevendo o lado esquerdo usando a definição de diferença e a lei de De Morgan. Por definição
A - B = A \cap \overline{B},
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\overline{A - B} = \overline{\,A \cap \overline{B}\,} \;\stackrel{\text{De Morgan}}{=}\; \overline{A}\;\cup\;B.

Passo 3

Agora o lado direito é
B - A = B \cap \overline{A}.

Passo 4

Comparamos
\overline{A - B} = \overline{A}\cup B \quad\text{e}\quad B - A = B\cap\overline{A}.
Em geral \overline{A}\cup B é muito maior (ou igual) que B\cap\overline{A}; elas coincidem apenas em casos especiais. Portanto a igualdade não é verdadeira para quaisquer conjuntos.
Um contraexemplo simples toma um universo U=\{1,2\},
A=\{1\}, \quad B=\{1\}.
Então
A - B = \emptyset, \quad \overline{A - B} = U\setminus \emptyset = \{1,2\},
enquanto
B - A = \emptyset.
Como \{1,2\}\neq\emptyset, a igualdade falha.

Resposta

A igualdade é falsa; por exemplo, em U=\{1,2\}, tomando A=B=\{1\}, vê-se que \overline{A-B}=\{1,2\}\neq\emptyset=B-A.

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