Em cada um dos casos decida se a sentença é verdadeira para quaisquer conjuntos A, B e C. Em caso afirmativo, prove. Em caso negativo, dê um contraexemplo.
(A-B) \cup(B-C)=A-C

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, para quaisquer conjuntos A, B e C, vale sempre a igualdade
(A - B)\;\cup\;(B - C)\;=\;A - C.
Aqui o conteúdo é teoria de conjuntos, em particular diferença de conjuntos e união. Para decidir se é sempre verdadeira, podemos tentar provar a inclusão em ambos os sentidos ou então encontrar um contraexemplo.

Passo 2

Para avaliar se duas expressões de conjuntos são iguais, normalmente fazemos duas inclusões:
  1. (A - B)\cup(B - C)\subseteq A - C.
  2. A - C\subseteq (A - B)\cup(B - C).
Se alguma delas falhar (ou ambas), a igualdade não vale em geral.

Passo 3

Vamos buscar um contraexemplo simples. Queremos um elemento que esteja em (A - B)\cup(B - C) mas não esteja em A - C. Note que qualquer elemento de B - C está na união da esquerda; se ainda por cima esse elemento não pertencer a A, então ele não estará em A - C.
Escolhemos por exemplo
A=\{1\},\quad B=\{1,2\},\quad C=\{1\}.

Passo 4

Calculemos cada lado no nosso exemplo:
  • A - B = \{\,x\in A : x\notin B\} = \varnothing, pois 1\in B.
  • B - C = \{\,x\in B : x\notin C\} = \{2\}, pois 2\notin C.
  • Logo (A - B)\cup(B - C) = \varnothing \,\cup\,\{2\} = \{2\}.
  • Por outro lado A - C = \{\,x\in A : x\notin C\} = \{\,x=1 : 1\notin \{1\}\} = \varnothing.

Passo 5

No contraexemplo, a esquerda vale \{2\} e a direita vale \varnothing. Como \{2\}\neq\varnothing, a igualdade não é verdadeira em geral.

Resposta

A sentença é falsa. Contraexemplo:
A=\{1\}, B=\{1,2\}, C=\{1\}
(A-B)\cup(B-C)=\{2\}\neq\varnothing=A-C.

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