Para cada um dos casos a seguir, determine a potência complexa, a potência média e a potência reativa:
v(t)=112 \cos \left(\omega t+10^{\circ}\right) \mathrm{V}, i(t)=4 \cos \left(\omega t-50^{\circ}\right) \mathrm{A}

Passo 1

O enunciado dá as formas temporais de tensão e corrente e pede três coisas: potência complexa, potência média e potência reativa. Informações relevantes fornecidas:
  • v(t)=112\cos\!\left(\omega t+10^{\circ}\right)\\ \mathrm{V}.
  • i(t)=4\cos\!\left(\omega t-50^{\circ}\right)\\ \mathrm{A}.
  • Perguntas: determinar (a) a potência complexa, (b) a potência média (ativa) e (c) a potência reativa.

Passo 2

Entender como passar das formas temporais para as grandezas usadas em potência: precisamos trabalhar em fasores (representação complexa em regime senoidal estacionário) e usar valores eficazes (RMS).
  • Uma onda A\cos(\omega t+\varphi) tem amplitude de pico A e fase \varphi. O fasor RMS correspondente é
\mathbf{F}= \frac{A}{\sqrt{2}}\angle\varphi,
onde \frac{A}{\sqrt{2}} é o valor RMS. Vou explicar por que: o valor RMS de \cos com amplitude A é A/\sqrt{2} porque a média de \cos^2 é 1/2. Então convertemos picos para RMS dividindo por \sqrt{2}.

Passo 3

Converter v(t) e i(t) para fasores RMS:
  • Para a tensão:
\mathbf{V} = \frac{112}{\sqrt{2}}\angle 10^{\circ}.
  • Para a corrente:
\mathbf{I} = \frac{4}{\sqrt{2}}\angle (-50^{\circ}).
Calculemos os valores RMS em módulo de forma simples observando que dividir por \sqrt{2} duas vezes (produto V_rms·I_rms) simplifica:
V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}=\left(\frac{112}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{4}{\sqrt{2}}\right)=\frac{112\cdot 4}{2}=224.
Isso já nos dá o fator de magnitude que aparecerá na potência complexa.

Passo 4

Definição e fórmula da potência complexa: dadas as fasores RMS \mathbf{V} e \mathbf{I},
\mathbf{S}=\mathbf{V}\,\mathbf{I}^*,
onde * é o conjugado complexo. Em módulo/ângulo, isso equivale a
\mathbf{S}=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\angle(\theta_V-\theta_I),
pois \mathbf{I}^* tem ângulo oposto. Aqui \theta_V=10^{\circ} e \theta_I=-50^{\circ}, então a diferença de fase é
\theta_V-\theta_I=10^{\circ}-(-50^{\circ})=60^{\circ}.
Portanto, em forma polar:
\mathbf{S}=224\angle 60^{\circ}\\ \mathrm{VA}.

Passo 5

Converter \mathbf{S} para forma retangular para separar potência ativa e reativa. Use as relações
P=\Re(\mathbf{S})=|S|\cos\phi_S, \qquad Q=\Im(\mathbf{S})=|S|\sin\phi_S,
onde \phi_S é o ângulo de \mathbf{S} (a diferença de fase entre tensão e corrente).
Com |S|=224 e \phi_S=60^{\circ}:
P=224\cos 60^{\circ}=224\cdot \tfrac{1}{2}=112\\ \mathrm{W}.
Q=224\sin 60^{\circ}=224\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}=112\sqrt{3}\\ \mathrm{VAr}\approx 193{,}99\\ \mathrm{VAr}.
Escrevendo \mathbf{S} em forma retangular:
\mathbf{S}=P+jQ=112 + j\,112\sqrt{3}\\ \mathrm{VA}.

Passo 6

Interpretação física e verificação rápida: o ângulo entre v e i é 60^{\circ} (corrente atrasada em relação à tensão), o que indica componente reativa positiva (indutiva) — isso bate com Q>0. Também podemos calcular S direto a partir dos picos usando a fórmula equivalente
\mathbf{S}=\frac{V_{\text{peak}}I_{\text{peak}}}{2}\angle(\theta_V-\theta_I),
pois V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}=(V_{\text{peak}}I_{\text{peak}})/2. Substituindo 112 e 4 (112\cdot 4)/2=224 e ângulo 60^{\circ}, mesma resposta — verificação ok.

Resposta

\mathbf{S}=224\angle 60^{\circ}\\ \mathrm{VA}=112 + j\,112\sqrt{3}\\ \mathrm{VA}
P=112\\ \mathrm{W}
Q=112\sqrt{3}\\ \mathrm{VAr}\\ (\approx 193{,}99\\ \mathrm{VAr})

Exercícios relacionados