UMA CARGA TRIFÁSICA LIGADA EM ESTRELA CONSOME 10,8 \mathrm{~kW} COM FATOR DE POTÊNCIA 0,866 . A TENSÃO DE LINHA É 220V. PEDE-SE:
a) OS MÓDULOS DAS CORRENTES DE FASE.
b) OS MÓDULOS DAS CORRENTES DE LINHA.
c) A POTÊNCIA REATIVA TRIFÁSICA.
d) A POTÊNCIA APARENTE TRIFÁSICA.

Passo 1

O enunciado dá uma carga trifásica ligada em estrela e pede várias quantidades. Dados fornecidos e perguntas:
  • Potência ativa trifásica consumida: P=10{,}8\\ \mathrm{kW}. Vou trabalhar em watts; portanto P=10800\\ \mathrm{W}.
  • Fator de potência: \mathrm{PF}=0{,}866.
  • Tensão de linha: V_L=220\\ \mathrm{V}.
  • A carga está ligada em estrela (Y).
Perguntas:
a) Módulo da corrente de fase.
b) Módulo da corrente de linha.
c) Potência reativa trifásica.
d) Potência aparente trifásica.

Passo 2

Conceitos e fórmulas importantes (passo-a-passo, do jeito que você precisa entender na prova):
  • Em um sistema trifásico balanceado ligado em estrela, a potência ativa total (trifásica) relaciona-se com tensão de linha, corrente de linha e fator de potência assim:
P=\sqrt{3}\,V_L\,I_L\,\mathrm{PF}.
Expliquei essa fórmula: P é a potência ativa total em watts; \sqrt{3} aparece porque estamos usando tensões e correntes de linha em um sistema trifásico balanceado; V_L é a tensão de linha (em volts); I_L é a corrente de linha (em ampères); \mathrm{PF} é o fator de potência (adimensional, =\cos\varphi, onde \varphi é o ângulo de fase entre tensão e corrente).
  • Em ligação em estrela a corrente de fase é igual à corrente de linha:
I_\text{fase}=I_L.
  • A potência aparente trifásica é
S=\sqrt{3}\,V_L\,I_L,
e também vale a relação entre ativa e fator de potência:
S=\frac{P}{\mathrm{PF}}.
  • A potência reativa trifásica é
Q=P\tan\varphi,
onde \varphi=\operatorname{arccos}(\mathrm{PF}). Alternativamente pode-se usar
Q=\sqrt{S^2-P^2}.

Passo 3

Calcular a corrente de linha (e, por consequência, a corrente de fase). Isolamos I_L na fórmula de potência ativa:
I_L=\frac{P}{\sqrt{3}\,V_L\,\mathrm{PF}}.
Agora substituímos os valores dados. Primeiro convertemos P para watts: P=10800\\ \mathrm{W}. Então
I_L=\frac{10800}{\sqrt{3}\cdot 220\cdot 0{,}866}.

Passo 4

Fazer as contas com explicações claras (sem pular etapas):
  • Observação útil: \mathrm{PF}=0{,}866 é aproximadamente \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}. Assim \sqrt{3}\cdot\mathrm{PF}\approx\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5. Isso simplifica as contas na prova se você reconhecer o ângulo de 30°.
  • Usando essa observação:
\sqrt{3}\cdot 0{,}866 \approx 1{,}5,
então o denominador vira 1{,}5\cdot 220=330.
  • Assim
I_L=\frac{10800}{330}=32{,}727272\ldots\\ \mathrm{A}.
Arredondando de forma prática para a prova, I_L\approx 32{,}73\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Corrente de fase: como a carga está em estrela, vale a propriedade já dita:
I_\text{fase}=I_L.
Logo o módulo da corrente de fase é o mesmo que acabamos de calcular: 32{,}73\\ \mathrm{A} (aprox).

Passo 6

Calcular a potência reativa Q. Método direto e do jeito que é mais simples na prova:
  • Primeiro obtenha o ângulo de fase \varphi usando \mathrm{PF}=\cos\varphi. Como \mathrm{PF}=0{,}866 e \cos 30^\circ\approx 0{,}866, temos \varphi\approx 30^\circ.
  • Então \tan\varphi=\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Assim
Q=P\tan\varphi=10800\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{10800}{\sqrt{3}}.
  • Calculando numericamente:
Q\approx \frac{10800}{1{,}73205}\approx 6235{,}03\\ \mathrm{VAr}.
Em unidades práticas, isso é Q\approx 6{,}235\\ \mathrm{kVAr}.

Passo 7

Calcular a potência aparente S. Dois caminhos — vou fazer o mais direto (útil na prova):
  • Usando S=\dfrac{P}{\mathrm{PF}},
S=\frac{10800}{0{,}866}\approx 12471{,}91\\ \mathrm{VA}.
Arredondando: S\approx 12{,}472\\ \mathrm{kVA}.
  • (Cheque rápido usando S=\sqrt{P^2+Q^2}: se P=10800 e Q\approx 6235{,}03, então \sqrt{10800^2+6235{,}03^2}\approx 12471{,}9\\ \mathrm{VA}, compatível.)

Passo 8

Recapitulando mentalmente como você resolve isso na prova (dica prática): reconhecer o fator de potência ligado a um ângulo especial (aqui 30^\circ) facilita muito; decorar as fórmulas
P=\sqrt{3}V_LI_L\mathrm{PF},\quad S=\sqrt{3}V_LI_L,\quad Q=P\tan\varphi,\quad S=\frac{P}{\mathrm{PF}}
resolve a maioria das questões desse tipo rapidamente. Vai dar tudo certo — respira, você consegue.

Resposta

(a) I_{\text{fase}}=32{,}73\\ \mathrm{A}
(b) I_{\text{linha}}=32{,}73\\ \mathrm{A}
(c) Q=6{,}235\\ \mathrm{kVAr}
(d) S=12{,}472\\ \mathrm{kVA}

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