Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo R=(0,1) \times(0,2) que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas.
\begin{array}{ll}u(x, 0)=0, & u(x, 2)=(1-x) \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} x\right), \quad 0 \leq x \leq 1 ;\u(0, y)=0, & u(1, y)=0, \quad 0 \leq y \leq 2 .\end{array}
Aqui você pode usar a série de Fourier de senos de f_{2}: \frac{32}{\pi^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\left(4 n^{2}-1\right)^{2}} \operatorname{sen}(n \pi x).

Passo 1

O enunciado dá a equação de Laplace em R=(0,1)\times(0,2)\) com as condições de contorno de Dirichlet: \[\begin{cases} u_{xx}+u_{yy}=0, & 0<x<1,\\\ 0<y<2,\\[4pt] u(x,0)=0, & 0\le x\le1,\\[4pt] u(x,2)=(1-x)\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr), & 0\le x\le1,\\[4pt] u(0,y)=0,\\ u(1,y)=0, & 0\le y\le2. \end{cases}
O que se pede: encontrar a solução u(x,y)\] que satisfaz a equação diferencial e essas quatro condições de contorno. Informação útil fornecida: a série de Fourier em senos (no intervalo \([0,1]) da função f_2(x)=(1-x)\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr) é
f_2(x)=\frac{32}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(4n^{2}-1)^{2}}\sin(n\pi x).]

Passo 2

Escolha do método (resumida): usar separação de variáveis em x e y e expandir a condição no bordo y=2 em série de senos em x. Isso é natural porque as condições u(0,y)=u(1,y)=0 indicam funções nulas nas bordas verticais, o que leva a autovalores e autovetores do tipo \sin(n\pi x). Agora vamos executar a separação passo a passo.

Passo 3

Separação de variáveis. Procura-se soluções do tipo u(x,y)=X(x)Y(y). Substituindo na PDE:
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{X''(x)}{X(x)}=-\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\text{constante}=-\lambda.
Escolheu-se o sinal para obter soluções senoidais em x. Assim obtemos os dois ODEs:
X''+\lambda X=0,\qquad Y''-\lambda Y=0.
Impor X(0)=X(1)=0 (porque u(0,y)=u(1,y)=0 para todo y) leva aos autovalores e autofunções:
\lambda_n=(n\pi)^{2},\qquad X_n(x)=\sin(n\pi x),\qquad n=1,2,\dots
Comentário rápido sobre ortogonalidade: as funções \{\sin(n\pi x)\} são ortogonais em [0,1]; mais precisamente
\int_{0}^{1}\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\,dx=\frac{1}{2}\delta_{nm},
onde \delta_{nm} é o delta de Kronecker.

Passo 4

Resolver a equação em y para cada modo n. Para \lambda_n=(n\pi)^2 temos
Y_n''-(n\pi)^{2}Y_n=0,
cuja solução geral é
Y_n(y)=A_n\operatorname{cosh}(n\pi y)+B_n\operatorname{sinh}(n\pi y).
Aplicar a condição u(x,0)=0 implica X_n(x)Y_n(0)=\sin(n\pi x)\,A_n=0 para todo x, então A_n=0. Logo cada modo tem a forma
u_n(x,y)=a_n\operatorname{sinh}(n\pi y)\sin(n\pi x),
onde escrevemos a_n no lugar de B_n para o coeficiente do modo.

Passo 5

Superposição linear: pela linearidade da PDE, a solução geral que satisfaz as condições nas bordas verticais e em y=0 é
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\operatorname{sinh}(n\pi y)\sin(n\pi x).
Impor a condição em y=2
u(x,2)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\operatorname{sinh}(2n\pi)\sin(n\pi x)=f_2(x)=(1-x)\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr).
Para encontrar a_n usamos a ortogonalidade das senos: multiplicar ambos os lados por \sin(m\pi x) e integrar de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\Bigl(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\operatorname{sinh}(2n\pi)\sin(n\pi x)\Bigr)\sin(m\pi x)\,dx =\int_{0}^{1}f_2(x)\sin(m\pi x)\,dx.
Trocar soma e integral e usar ortogonalidade dá
a_m\operatorname{sinh}(2m\pi)\cdot\frac{1}{2}=\int_{0}^{1}f_2(x)\sin(m\pi x)\,dx.
Definindo o coeficiente de Fourier de seno
B_m:=2\int_{0}^{1}f_2(x)\sin(m\pi x)\,dx,
obtemos
a_m=\frac{B_m}{\operatorname{sinh}(2m\pi)}.

Passo 6

Usar a série dada no enunciado. O enunciado nos dá diretamente a série de Fourier em senos de f_2(x):
f_2(x)=\frac{32}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(4n^{2}-1)^{2}}\sin(n\pi x).
Comparando com a forma f_2(x)=\sum_{n=1}^\infty B_n\sin(n\pi x) vemos que os coeficientes de Fourier de seno são
B_n=\frac{32}{\pi^{2}}\cdot\frac{n}{(4n^{2}-1)^{2}}.
Portanto, usando a fórmula do passo anterior,
a_n=\frac{B_n}{\operatorname{sinh}(2n\pi)}=\frac{32}{\pi^{2}}\cdot\frac{n}{(4n^{2}-1)^{2}}\cdot\frac{1}{\operatorname{sinh}(2n\pi)}.

Passo 7

Escrever a solução final juntando tudo. Substituindo a_n na série para u obtemos
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{32}{\pi^{2}}\cdot\frac{n}{(4n^{2}-1)^{2}}\cdot\frac{1}{\operatorname{sinh}(2n\pi)}\right)\operatorname{sinh}(n\pi y)\sin(n\pi x).
Podemos reorganizar um pouco a expressão para ficar mais compacta:
u(x,y)=\frac{32}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(4n^{2}-1)^{2}}\cdot\frac{\operatorname{sinh}(n\pi y)}{\operatorname{sinh}(2n\pi)}\sin(n\pi x).

Passo 8

Pequenas observações finais e encorajamento: a série acima é a solução que satisfaz todas as condições de contorno. Cada termo individual satisfaz a PDE e as condições em x=0,1 e em y=0; a soma (convergente) ajusta o valor em y=2. Em prova, o caminho padrão é sempre esse: separar variáveis, escolher modos compatíveis com as condições homogêneas, impor a condição no bordo livre (aqui y=2) e usar a série de Fourier adequada (aqui a série de senos já foi fornecida). Vai dar tudo certo — respira e confia no processo!

Resposta

u(x,y)=\frac{32}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(4n^{2}-1)^{2}}\cdot\frac{\operatorname{sinh}(n\pi y)}{\operatorname{sinh}(2n\pi)}\sin(n\pi x).

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