Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo
que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas.
Aqui você pode usar a série de Fourier de senos de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação de Laplace em
O que se pede: encontrar a solução
) da função
é
Passo 2
Escolha do método (resumida): usar separação de variáveis em
e
e expandir a condição no bordo
em série de senos em
. Isso é natural porque as condições
indicam funções nulas nas bordas verticais, o que leva a autovalores e autovetores do tipo
. Agora vamos executar a separação passo a passo.
Passo 3
Separação de variáveis. Procura-se soluções do tipo
. Substituindo na PDE:
Escolheu-se o sinal para obter soluções senoidais em
. Assim obtemos os dois ODEs:
Impor
(porque
para todo
) leva aos autovalores e autofunções:
Comentário rápido sobre ortogonalidade: as funções
são ortogonais em
; mais precisamente
onde
é o delta de Kronecker.
Passo 4
Resolver a equação em
para cada modo
. Para
temos
cuja solução geral é
Aplicar a condição
implica
para todo
, então
. Logo cada modo tem a forma
onde escrevemos
no lugar de
para o coeficiente do modo.
Passo 5
Superposição linear: pela linearidade da PDE, a solução geral que satisfaz as condições nas bordas verticais e em
é
Impor a condição em
dá
Para encontrar
usamos a ortogonalidade das senos: multiplicar ambos os lados por
e integrar de
a
:
Trocar soma e integral e usar ortogonalidade dá
Definindo o coeficiente de Fourier de seno
obtemos
Passo 6
Usar a série dada no enunciado. O enunciado nos dá diretamente a série de Fourier em senos de
:
Comparando com a forma
vemos que os coeficientes de Fourier de seno são
Portanto, usando a fórmula do passo anterior,
Passo 7
Escrever a solução final juntando tudo. Substituindo
na série para
obtemos
Podemos reorganizar um pouco a expressão para ficar mais compacta:
Passo 8
Pequenas observações finais e encorajamento: a série acima é a solução que satisfaz todas as condições de contorno. Cada termo individual satisfaz a PDE e as condições em
e em
; a soma (convergente) ajusta o valor em
. Em prova, o caminho padrão é sempre esse: separar variáveis, escolher modos compatíveis com as condições homogêneas, impor a condição no bordo livre (aqui
) e usar a série de Fourier adequada (aqui a série de senos já foi fornecida). Vai dar tudo certo — respira e confia no processo!