Q 3: (05 pontos) Dada a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, definida por u(x, y)=x e^{y}-y e^{2 x}, é correto afirmar que: a) u_{x y}=-2 e^{2 x} e u_{x x}-4 u_{y y}=0 b) u_{y y}=-4 y e^{2 x} e u_{x y}+u_{y x}=0 c) u_{x x}=-4 y e^{x} e y u_{x x}+4 y u_{y y}=0 d) u_{x x x}=e^{y} e u_{x x y y}+u_{y y x x}=0 e) Nenhuma das outras alternativas

Passo 1

O enunciado nos dá a função u:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}
u(x,y)=x e^{y}-y e^{2 x},
e pede para identificar qual das alternativas (a)–(e) está correta. As alternativas afirmam igualdades envolvendo derivadas parciais de u. Vou verificar cada igualdade calculando as derivadas parciais necessárias. Informações dadas relevantes:
  • A função é u(x,y)=x e^{y}-y e^{2 x}.
  • As alternativas (a) a (d) apresentam afirmações sobre derivadas parciais de u; (e) diz que nenhuma das anteriores está correta.
    O objetivo é decidir qual alternativa é verdadeira (uma e só uma).

Passo 2

Lembrete rápido e método: derivada parcial em relação a uma variável trata a outra como constante. Regras que vou usar:
  • Regra do produto: \dfrac{\partial}{\partial x}(v(x,y)w(x,y))=\dfrac{\partial v}{\partial x}w+v\dfrac{\partial w}{\partial x}.
  • Regra da cadeia para exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{g(x)}=g'(x)e^{g(x)}.
    Vou começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem \,u_x e \,u_y.

Passo 3

Calcular \,u_x (derivada parcial em x):
A função é soma de dois termos; derivando termo a termo:
  • Para x e^{y}: e^{y} é constante em x, então \dfrac{\partial}{\partial x}(x e^{y})=e^{y}.
  • Para -y e^{2x}: y é tratado como constante, e \dfrac{d}{dx}e^{2x}=2 e^{2x}. Logo \dfrac{\partial}{\partial x}(-y e^{2x})=-y\cdot 2 e^{2x}=-2y e^{2x}.
    Somando,
u_x = e^{y}-2y e^{2x}.
Calcular \,u_y (derivada parcial em y):
  • Para x e^{y}: x é constante, \dfrac{\partial}{\partial y}(x e^{y})=x e^{y}.
  • Para -y e^{2x}: e^{2x} é constante em y, então \dfrac{\partial}{\partial y}(-y e^{2x})=- e^{2x}.
    Somando,
u_y = x e^{y}- e^{2x}.

Passo 4

Derivadas mistas de segunda ordem \,u_{xy} e \,u_{yx}:
  • A partir de u_x = e^{y}-2y e^{2x}, derivando em y:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(e^{y})=e^{y}.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(-2y e^{2x})=-2 e^{2x} (pois e^{2x} é constante).
      Logo
    u_{xy}=e^{y}-2 e^{2x}.
  • A partir de u_y = x e^{y}- e^{2x}, derivando em x:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x e^{y})=e^{y}.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(- e^{2x})=-2 e^{2x}.
      Logo
    u_{yx}=e^{y}-2 e^{2x}.
Observação (teorema de Clairaut): para funções suaves, u_{xy}=u_{yx}, e aqui isso ocorre conforme calculado.
Comparação com alternativas:
  • A alternativa (a) diz \,u_{xy}=-2 e^{2 x}. Comparando com u_{xy}=e^{y}-2 e^{2x}, falta o termo e^{y}. Portanto a parte sobre u_{xy} em (a) é falsa. Assim (a) é falsa (nem preciso checar o segundo item de (a) agora, mas farei adiante).

Passo 5

Calcular \,u_{xx} e \,u_{yy} (segunda derivadas puras):
  • A partir de u_x = e^{y}-2y e^{2x}, derivando em x:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(e^{y})=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(-2y e^{2x})=-2y\cdot 2 e^{2x}=-4y e^{2x}.
      Logo
    u_{xx}=-4y e^{2x}.
  • A partir de u_y = x e^{y}- e^{2x}, derivando em y:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x e^{y})=x e^{y}.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(- e^{2x})=0.
      Logo
    u_{yy}=x e^{y}.
Agora verifico as identidades propostas pelas alternativas usando essas expressões.

Passo 6

Verificando (a) por completo: (a) afirma \,u_{xy}=-2 e^{2 x} e \,u_{xx}-4 u_{yy}=0.
  • Já vimos que u_{xy}=e^{y}-2 e^{2x}, portanto o primeiro item é falso.
  • Calcule u_{xx}-4u_{yy} = (-4y e^{2x}) - 4(x e^{y}) = -4y e^{2x} - 4x e^{y}, que em geral não é 0. Logo o segundo item também é falso em geral.
    Conclusão: (a) está errada.

Passo 7

Verificando (b): (b) afirma \,u_{yy}=-4 y e^{2 x} e \,u_{xy}+u_{yx}=0.
  • Temos u_{yy}=x e^{y}, que não é -4y e^{2x} em geral. Então o primeiro item é falso.
  • Temos u_{xy}=u_{yx}=e^{y}-2 e^{2x}, então u_{xy}+u_{yx}=2(e^{y}-2 e^{2x}), que em geral não é 0. Portanto o segundo item também é falso.
    Conclusão: (b) está errada.

Passo 8

Verificando (c): (c) afirma \,u_{xx}=-4 y e^{x} e y u_{xx}+4 y u_{yy}=0.
  • Calculamos u_{xx}=-4y e^{2x}. A alternativa tem e^{x} em vez de e^{2x}, logo o primeiro item é falso.
  • Mesmo verificando a combinação, y u_{xx}+4 y u_{yy} = y(-4y e^{2x}) + 4y(x e^{y}) = -4y^{2} e^{2x} + 4xy e^{y}, que não é zero em geral. Então o segundo item também é falso.
    Conclusão: (c) está errada.

Passo 9

Verificando (d): (d) afirma \,u_{xxx}=e^{y} e \,u_{x x y y}+u_{y y x x}=0.
  • Primeiro calcule u_{xxx}. Temos u_{xx}=-4y e^{2x}. Derivando em x: u_{xxx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(-4y e^{2x})=-4y\cdot 2 e^{2x}=-8y e^{2x},que não é e^{y}. Então o primeiro item é falso.
  • Agora calcule u_{x x y y} e u_{y y x x}:
    • A partir de u_{xx}=-4y e^{2x}: derivando em y obtém-se u_{xxy}=-4 e^{2x}; derivando novamente em y u_{xxyy}=0 (pois -4 e^{2x} não depende de y).
    • A partir de u_{yy}=x e^{y}: derivando em x obtém-se u_{yyx}=e^{y}; derivando novamente em x u_{yyxx}=0 (pois e^{y} não depende de x).
      Portanto u_{x x y y}+u_{y y x x}=0+0=0. Assim o segundo item de (d) é verdadeiro, mas o primeiro é falso.
      Conclusão: (d) é falsa porque exige que ambas as afirmações sejam verdadeiras.

Passo 10

Sumarizando: (a) falso, (b) falso, (c) falso, (d) falso. Como nenhuma das alternativas (a)–(d) é completamente verdadeira, a alternativa correta é (e).

Resposta

e) Nenhuma das outras alternativas

Exercícios relacionados