Q 3: (05 pontos) Dada a função
, definida por
, é correto afirmar que: a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
e) Nenhuma das outras alternativas
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para identificar qual das alternativas (a)–(e) está correta. As alternativas afirmam igualdades envolvendo derivadas parciais de
. Vou verificar cada igualdade calculando as derivadas parciais necessárias. Informações dadas relevantes:
- A função é
. - As alternativas (a) a (d) apresentam afirmações sobre derivadas parciais de
; (e) diz que nenhuma das anteriores está correta.
O objetivo é decidir qual alternativa é verdadeira (uma e só uma).
Passo 2
Lembrete rápido e método: derivada parcial em relação a uma variável trata a outra como constante. Regras que vou usar:
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia para exponencial:
.
Vou começar calculando as derivadas parciais de primeira ordeme .
Passo 3
Calcular
(derivada parcial em
):
A função é soma de dois termos; derivando termo a termo:
A função é soma de dois termos; derivando termo a termo:
- Para
: é constante em , então . - Para
: é tratado como constante, e . Logo .
Somando,
Calcular
(derivada parcial em
):
- Para
: é constante, . - Para
: é constante em , então .
Somando,
Passo 4
Derivadas mistas de segunda ordem
e
:
- A partir de
, derivando em : -
. -
(pois é constante).
Logo
-
- A partir de
, derivando em : -
. -
.
Logo
-
Observação (teorema de Clairaut): para funções suaves,
, e aqui isso ocorre conforme calculado.
Comparação com alternativas:
- A alternativa (a) diz
. Comparando com , falta o termo . Portanto a parte sobre em (a) é falsa. Assim (a) é falsa (nem preciso checar o segundo item de (a) agora, mas farei adiante).
Passo 5
Calcular
e
(segunda derivadas puras):
- A partir de
, derivando em : -
. -
.
Logo
-
- A partir de
, derivando em : -
. -
.
Logo
-
Agora verifico as identidades propostas pelas alternativas usando essas expressões.
Passo 6
Verificando (a) por completo: (a) afirma
e
.
- Já vimos que
, portanto o primeiro item é falso. - Calcule
, que em geral não é . Logo o segundo item também é falso em geral.
Conclusão: (a) está errada.
Passo 7
Verificando (b): (b) afirma
e
.
- Temos
, que não é em geral. Então o primeiro item é falso. - Temos
, então , que em geral não é . Portanto o segundo item também é falso.
Conclusão: (b) está errada.
Passo 8
Verificando (c): (c) afirma
e
.
- Calculamos
. A alternativa tem em vez de , logo o primeiro item é falso. - Mesmo verificando a combinação,
, que não é zero em geral. Então o segundo item também é falso.
Conclusão: (c) está errada.
Passo 9
Verificando (d): (d) afirma
e
.
- Primeiro calcule
. Temos . Derivando em : que não é . Então o primeiro item é falso. - Agora calcule
e : - A partir de
: derivando em obtém-se ; derivando novamente em dá (pois não depende de ). - A partir de
: derivando em obtém-se ; derivando novamente em dá (pois não depende de ).
Portanto. Assim o segundo item de (d) é verdadeiro, mas o primeiro é falso.
Conclusão: (d) é falsa porque exige que ambas as afirmações sejam verdadeiras.
- A partir de
Passo 10
Sumarizando: (a) falso, (b) falso, (c) falso, (d) falso. Como nenhuma das alternativas (a)–(d) é completamente verdadeira, a alternativa correta é (e).
Resposta
e) Nenhuma das outras alternativas