Q 4: (05 pontos) Sobre a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, dada por f(x, y)=x^{2} se x \geq 0 e f(x, y)=x^{3} caso contrário. Considerando os limites \lim _{(x, y) \rightarrow(3,-2)} f(x, y)=L_{1} ; \lim _{(x, y) \rightarrow(-2,1)} f(x, y)=L_{2} e \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=L_{3} é correto afirmar que:
(a) L_{1} e L_{3} não existem; L_{2}=-8 e a função é descontínua
(b) L_{1} e L_{2} não existem e L_{3}=0 e a função é descontínua
(d) Nenhuma das outras alternativas
e L_{1}=-8 ; L_{2}=9 ; L_{3}=0 e a função é contínua.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • A função é dada por
f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\qquad f(x,y)=\begin{cases} x^{2}, & \text{se }x\ge 0,\\[4pt] x^{3}, & \text{se }x<0. \end{cases}
  • Precisamos considerar os limites
L_{1}=\lim_{(x,y)\to(3,-2)} f(x,y),\qquad L_{2}=\lim_{(x,y)\to(-2,1)} f(x,y),\qquad L_{3}=\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y).
  • Depois devemos decidir qual alternativa é correta entre as dadas (há opções que atribuem valores a L_1,L_2,L_3 e falam sobre continuidade da função).]

Passo 2

Observação importante (ferramenta que vamos usar): a função f depende somente de x — ou seja, para qualquer ponto (x,y) o valor f(x,y) é função apenas de x. Isso simplifica limites em \mathbb{R}^2: para (x_0,y_0) fixo, se numa vizinhança de (x_0,y_0) todas as abscissas x têm o mesmo sinal (por exemplo, todas positivas), então a expressão de f é a mesma em toda essa vizinhança e o limite reduz-se ao limite univariado em x. Não vamos pular etapas: vou mostrar isso de forma prática nos casos concretos.

Passo 3

Cálculo de L_{1}=\lim_{(x,y)\to(3,-2)} f(x,y).
  • Note que a abscissa do ponto é 3, que é positiva. Existe uma pequena bola em torno de (3,-2) tal que, para todo (x,y) nessa bola, tem-se x>0. Por exemplo, se \sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2}<1 então |x-3|<1 e portanto x>2>0.
  • Nessa vizinhança, a definição de f é f(x,y)=x^2. A função x\mapsto x^2 é contínua como função de uma variável, logo o limite bidimensional coincide com substituir x=3:
L_{1}=3^{2}=9.
Explicação didática rápida: quando o ponto de aproximação tem x_0>0, suficientemente perto de (x_0,y_0) todas as abscissas ainda serão positivas, então não há troca de ramo da definição; por isso o limite é simplesmente x_0^2.

Passo 4

Cálculo de L_{2}=\lim_{(x,y)\to(-2,1)} f(x,y).
  • Agora a abscissa do ponto é -2, negativa. Existe uma vizinhança de (-2,1) em que todas as abscissas x são negativas (por exemplo, se \sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2}<1 então |x+2|<1 e assim x<-1<0).
  • Nessa vizinhança vale f(x,y)=x^3. Como x\mapsto x^3 é contínua, o limite é obtido substituindo x=-2:
L_{2}=(-2)^{3}=-8.
Didática: quando x_0<0 podemos ficar em uma região onde sempre usamos a expressão x^3; portanto o limite vale x_0^3.

Passo 5

Cálculo de [L_{3}=\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)). Este é o caso mais interessante porque x=0 é a fronteira entre os dois ramos da definição.
Estratégia: mostrar que qualquer sequência (x_n,y_n)\to(0,0) produz f(x_n,y_n)\to 0, ou dar um argumento \varepsilon- \delta simples. Vou usar um argumento com desigualdades que serve como um mini- \varepsilon- \delta.
  • Para |x|<1 tem-se |x^3|\le |x|^2 (pois |x|<1 implica multiplicar por |x| diminui o valor). Logo, para qualquer (x,y) com |x|<1 obtemos
|f(x,y)|= \begin{cases} |x|^{2}, & x\ge 0,\\[4pt] |x|^{3}\le |x|^{2}, & x<0, \end{cases}
portanto, sempre que |x|<1\] vale \[|f(x,y)|\le |x|^{2}.\] - Agora, se \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então |x|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta. Logo, para \delta\le 1 temos
|f(x,y)|\le |x|^{2}<\delta^{2}.
  • Dado qualquer \varepsilon>0, escolha \delta=\min(1,\sqrt{\varepsilon}). Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, como visto, |f(x,y)|<\delta^{2}\le \varepsilon. Isso é exatamente a definição de \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Portanto
L_{3}=0.
Intuição: mesmo vindo de x>0 (onde f=x^2) ou de x<0 (onde f=x^3), ambas as expressões tendem a 0 quando x\to 0; mostramos que, uniformemente, |f(x,y)| fica pequeno quando (x,y) está perto de (0,0).]

Passo 6

Conclusão sobre continuidade da função f em \mathbb{R}^2.
  • Para um ponto (x_0,y_0) com x_0>0: existe vizinhança onde f(x,y)=x^2, e x^2 é contínua, logo f é contínua nesses pontos.
  • Para um ponto com x_0<0: existe vizinhança onde f(x,y)=x^3, e x^3 é contínua, logo f é contínua nesses pontos.
  • No caso x_0=0: mostramos no Passo 5 que \lim_{(x,y)\to(0,y_0)} f(x,y)=0. Para qualquer ponto com x_0=0 (em particular (0,0)) o valor da função é f(0,y_0)=0^2=0 (pois a definição usa o ramo x\ge 0 em x=0), que coincide com o limite; portanto f é contínua também nesses pontos de fronteira.
  • Assim f é contínua em todo \mathbb{R}^2.

Resposta

Alternativa (d)
L_{1}=9
L_{2}=-8
L_{3}=0
A função é contínua em \mathbb{R}^{2}.

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