Q 4: (05 pontos) Sobre a função
, dada por
se
e
caso contrário. Considerando os limites
e
é correto afirmar que:
(a)
e
não existem;
e a função é descontínua
(b)
e
não existem e
e a função é descontínua
(d) Nenhuma das outras alternativas
e
e a função é contínua.
(a)
(b)
(d) Nenhuma das outras alternativas
e
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- A função é dada por
- Precisamos considerar os limites
- Depois devemos decidir qual alternativa é correta entre as dadas (há opções que atribuem valores a
e falam sobre continuidade da função).]
Passo 2
Observação importante (ferramenta que vamos usar): a função
depende somente de
— ou seja, para qualquer ponto
o valor
é função apenas de
. Isso simplifica limites em
: para
fixo, se numa vizinhança de
todas as abscissas
têm o mesmo sinal (por exemplo, todas positivas), então a expressão de
é a mesma em toda essa vizinhança e o limite reduz-se ao limite univariado em
. Não vamos pular etapas: vou mostrar isso de forma prática nos casos concretos.
Passo 3
Cálculo de
.
- Note que a abscissa do ponto é
, que é positiva. Existe uma pequena bola em torno de tal que, para todo nessa bola, tem-se . Por exemplo, se então e portanto . - Nessa vizinhança, a definição de
é . A função é contínua como função de uma variável, logo o limite bidimensional coincide com substituir :
Explicação didática rápida: quando o ponto de aproximação tem
, suficientemente perto de
todas as abscissas ainda serão positivas, então não há troca de ramo da definição; por isso o limite é simplesmente
.
Passo 4
Cálculo de
.
- Agora a abscissa do ponto é
, negativa. Existe uma vizinhança de em que todas as abscissas são negativas (por exemplo, se então e assim ). - Nessa vizinhança vale
. Como é contínua, o limite é obtido substituindo :
Didática: quando
podemos ficar em uma região onde sempre usamos a expressão
; portanto o limite vale
.
Passo 5
Cálculo de [L_{3}=\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)). Este é o caso mais interessante porque
é a fronteira entre os dois ramos da definição.
Estratégia: mostrar que qualquer sequência
produz
, ou dar um argumento
-
simples. Vou usar um argumento com desigualdades que serve como um mini-
-
.
- Para
tem-se (pois implica multiplicar por diminui o valor). Logo, para qualquer com obtemos
portanto, sempre que
então
. Logo, para
temos
- Dado qualquer
, escolha . Se então, como visto, . Isso é exatamente a definição de .
Portanto
Intuição: mesmo vindo de
(onde
) ou de
(onde
), ambas as expressões tendem a
quando
; mostramos que, uniformemente,
fica pequeno quando
está perto de
.]
Passo 6
Conclusão sobre continuidade da função
em
.
- Para um ponto
com : existe vizinhança onde , e é contínua, logo é contínua nesses pontos. - Para um ponto com
: existe vizinhança onde , e é contínua, logo é contínua nesses pontos. - No caso
: mostramos no Passo 5 que . Para qualquer ponto com (em particular ) o valor da função é (pois a definição usa o ramo em ), que coincide com o limite; portanto é contínua também nesses pontos de fronteira. - Assim
é contínua em todo .
Resposta
Alternativa (d)
A função é contínua em
.