Para cada conjunto, determine se é ortogonal. Se for ortogonal, verifique se é ortonormal; caso não seja, determine o conjunto ortonormal correspondente.
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de dois vetores no plano:
.
O que se pede:
- Verificar se o conjunto é ortogonal (isto é, se os vetores são perpendiculares entre si).
- Se for ortogonal, verificar se é ortonormal (isto é, além de serem perpendiculares, se cada vetor tem norma
). - Se não for ortonormal, determinar o conjunto ortonormal correspondente (normalizar os vetores).
Informações relevantes fornecidas:
- Primeiro vetor:
. - Segundo vetor:
.
Passo 2
Relembrando a definição que vamos usar (passo-a-passo explicadinho): dois vetores
e
são ortogonais se o produto escalar (dot product) deles for zero. O produto escalar em
é
Aqui
são as componentes dos vetores; o produto escalar mede “quanto um vetor projeta no outro” e ser zero significa que não projeta nada — isto é, são perpendiculares.
Passo 3
Calculemos o produto escalar
:
Como o produto escalar é zero, concluímos que os vetores são ortogonais. Logo o conjunto é ortogonal.
Passo 4
Agora vamos verificar ortonormalidade. Para isso precisamos das normas (comprimentos) dos vetores. A norma de um vetor
é dada por
Explicando: soma-se o quadrado das componentes e tira-se a raiz quadrada — é o comprimento usual no plano.
Passo 5
Calculemos
:
Calculemos
:
Ambos têm norma
, que não é
. Portanto o conjunto não é ortonormal (porque, embora ortogonal, os vetores não são unitários).
Passo 6
Para obter o conjunto ortonormal correspondente, normalizamos cada vetor: dividimos cada vetor pela sua norma. Se
tem norma
, o vetor unitário na mesma direção é
.
Como
, os vetores normalizados são
Passo 7
É bom verificar (rápido) que o conjunto
é realmente ortonormal:
- Normas:
e idem para
.
- Produto escalar:
Portanto são mutuamente ortogonais e unitários — ou seja, ortonormais.
Passo 8
Resumo final (pra conferir rápido na prova): o conjunto original é ortogonal, não é ortonormal, e a normalização dá o conjunto ortonormal acima. Força aí — você já matou a parte difícil (entender o porquê) e agora é só treinar uns exercícios parecidos.
Resposta
É ortogonal: Sim.
É ortonormal: Não.
Conjunto ortonormal correspondente:
É ortonormal: Não.
Conjunto ortonormal correspondente: