Para cada conjunto, determine se é ortogonal. Se for ortogonal, verifique se é ortonormal; caso não seja, determine o conjunto ortonormal correspondente.
\{(3,5),(-5,3)\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de dois vetores no plano:
\{(3,5),(-5,3)\}.
O que se pede:
  • Verificar se o conjunto é ortogonal (isto é, se os vetores são perpendiculares entre si).
  • Se for ortogonal, verificar se é ortonormal (isto é, além de serem perpendiculares, se cada vetor tem norma 1).
  • Se não for ortonormal, determinar o conjunto ortonormal correspondente (normalizar os vetores).
Informações relevantes fornecidas:
  • Primeiro vetor: \mathbf{v}_1=(3,5).
  • Segundo vetor: \mathbf{v}_2=(-5,3).

Passo 2

Relembrando a definição que vamos usar (passo-a-passo explicadinho): dois vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2) e \mathbf{b}=(b_1,b_2) são ortogonais se o produto escalar (dot product) deles for zero. O produto escalar em \mathbb{R}^2 é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2.
Aqui a_1,a_2,b_1,b_2 são as componentes dos vetores; o produto escalar mede “quanto um vetor projeta no outro” e ser zero significa que não projeta nada — isto é, são perpendiculares.

Passo 3

Calculemos o produto escalar \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2:
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 = 3\cdot(-5) + 5\cdot 3 = -15 + 15 = 0.
Como o produto escalar é zero, concluímos que os vetores são ortogonais. Logo o conjunto é ortogonal.

Passo 4

Agora vamos verificar ortonormalidade. Para isso precisamos das normas (comprimentos) dos vetores. A norma de um vetor \mathbf{a}=(a_1,a_2) é dada por
\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}.
Explicando: soma-se o quadrado das componentes e tira-se a raiz quadrada — é o comprimento usual no plano.

Passo 5

Calculemos \|\mathbf{v}_1\|:
\|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}.
Calculemos \|\mathbf{v}_2\|:
\|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}.
Ambos têm norma \sqrt{34}, que não é 1. Portanto o conjunto não é ortonormal (porque, embora ortogonal, os vetores não são unitários).

Passo 6

Para obter o conjunto ortonormal correspondente, normalizamos cada vetor: dividimos cada vetor pela sua norma. Se \mathbf{v} tem norma \|\mathbf{v}\|, o vetor unitário na mesma direção é \dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}.
Como \|\mathbf{v}_1\|=\|\mathbf{v}_2\|=\sqrt{34}, os vetores normalizados são
\mathbf{u}_1=\frac{\mathbf{v}_1}{\sqrt{34}}=\left(\frac{3}{\sqrt{34}},\frac{5}{\sqrt{34}}\right), \qquad \mathbf{u}_2=\frac{\mathbf{v}_2}{\sqrt{34}}=\left(-\frac{5}{\sqrt{34}},\frac{3}{\sqrt{34}}\right).

Passo 7

É bom verificar (rápido) que o conjunto \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\} é realmente ortonormal:
  • Normas:
\|\mathbf{u}_1\|^2=\left(\frac{3}{\sqrt{34}}\right)^2+\left(\frac{5}{\sqrt{34}}\right)^2=\frac{9+25}{34}=\frac{34}{34}=1,
e idem para \mathbf{u}_2.
  • Produto escalar:
\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_2=\frac{1}{34}\big(3\cdot(-5)+5\cdot 3\big)=\frac{0}{34}=0.
Portanto são mutuamente ortogonais e unitários — ou seja, ortonormais.

Passo 8

Resumo final (pra conferir rápido na prova): o conjunto original é ortogonal, não é ortonormal, e a normalização dá o conjunto ortonormal acima. Força aí — você já matou a parte difícil (entender o porquê) e agora é só treinar uns exercícios parecidos.

Resposta

É ortogonal: Sim.
É ortonormal: Não.
Conjunto ortonormal correspondente: \left\{\left(\dfrac{3}{\sqrt{34}},\dfrac{5}{\sqrt{34}}\right),\left(-\dfrac{5}{\sqrt{34}},\dfrac{3}{\sqrt{34}}\right)\right\}

Exercícios relacionados