Para cada conjunto, determine se é ortogonal. Se for ortogonal, verifique se é ortonormal; caso não seja, determine o conjunto ortonormal correspondente.
\{(-1,1),(-1,0),(-4,-17,-1)\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores
(-1,1),\quad (-1,0),\quad (-4,-17,-1).
As perguntas são:
  • Determinar se o conjunto é ortogonal.
  • Se for ortogonal, verificar se é ortonormal; se não for, determinar o conjunto ortonormal correspondente.
Observação crucial (extraída dos dados): os dois primeiros vetores têm 2 coordenadas (são vetores de \mathbb{R}^2) e o terceiro tem 3 coordenadas (é vetor de \mathbb{R}^3). Isso significa, literalmente, que como estão escritos os vetores não pertencem ao mesmo espaço \mathbb{R}^n, logo não faz sentido falar de ortogonalidade entre todos eles ao mesmo tempo sem esclarecer o espaço em que estão. Vou explicar o que isso implica e adotar uma interpretação natural para poder resolver o problema seguindo a prática comum (não pedirei esclarecimentos).

Passo 2

O que significa “ortogonal” e “ortonormal” — aula rápida e prática:
  • Dois vetores u e v em \mathbb{R}^n são ortogonais se o produto interno (produto escalar) for zero: u\cdot v = 0.Para vetores em coordenadas, u=(u_1,\dots,u_n) e v=(v_1,\dots,v_n), u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_n v_n.
  • Um conjunto de vetores é ortogonal se todo par distinto de vetores do conjunto for ortogonal.
  • Um vetor v tem norma (comprimento) dada por \|v\|=\sqrt{v\cdot v}. Um vetor é unitário se \|v\|=1.
  • Um conjunto é ortonormal se for ortogonal e todos os vetores forem unitários.
  • Se um conjunto dado não for ortogonal, pode-se obter um conjunto ortogonal (e daí ortonormal) aplicando o processo de Gram–Schmidt: gera-se vetores ortogonais u_1,u_2,\dots a partir dos v_i e depois normaliza-se cada u_i para obter e_i=u_i/\|u_i\|.
  • Fórmula da projeção de v sobre u (quando u\neq 0): \operatorname{proj}_u v = \frac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u.

Passo 3

Decisão sobre a incompatibilidade de dimensão e caminho que vou seguir:
  • Como escrito, não é possível calcular produtos escalares entre, por exemplo, (-1,1) e (-4,-17,-1), porque têm dimensões diferentes. Se eu não assumisse nada, a conclusão honesta seria: "não há como decidir se o conjunto é ortogonal porque os vetores não estão no mesmo \mathbb{R}^n".
  • Uma interpretação muito comum (e natural) em problemas assim é assumir que vetores com menos coordenadas têm implicitamente zeros nas coordenadas faltantes. Ou seja, interpretar os dois primeiros vetores como vetores de \mathbb{R}^3 com terceira componente 0: v_1 = (-1,1,0),\quad v_2 = (-1,0,0),\quad v_3 = (-4,-17,-1).Essa interpretação faz sentido porque frequentemente autores omitem zeros finais. Vou seguir essa interpretação para poder dar uma resolução completa e prática (se a intenção do enunciado fosse outra, a resposta muda e é preciso corrigir os vetores).

Passo 4

Verificação direta de ortogonalidade sob a interpretação escolhida ( v_1,v_2,v_3 em \mathbb{R}^3):
  • Calcular v_1\cdot v_2: v_1\cdot v_2 = (-1)(-1) + (1)(0) + 0\cdot 0 = 1 \neq 0.Já temos um par com produto escalar não nulo, portanto o conjunto não é ortogonal (nem precisa checar mais pares para concluir isso).
  • Conclusão imediata: o conjunto, sob a interpretação v_1=(-1,1,0), v_2=(-1,0,0), v_3=(-4,-17,-1), NÃO é ortogonal.
(Vou seguir adiante e, conforme pedido, construir o conjunto ortonormal correspondente ao subespaço gerado por esses vetores usando Gram–Schmidt — isso é o que normalmente pedem quando dizem “caso não seja, determine o conjunto ortonormal correspondente”.)

Passo 5

Aplicando Gram–Schmidt (passo a passo, com explicações bem mastigadas):
  • Primeiro vetor ortogonal u_1: escolha u_1 = v_1 = (-1,1,0).
    • Norma de u_1: \|u_1\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.
    • Vetor unitário correspondente: e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\\ \frac{1}{\sqrt{2}},\\\ 0\right).
    Explicação curta: e_1 tem a mesma direção de u_1 e comprimento 1.
  • Segundo vetor ortogonal u_2: comece com v_2 e subtraia a projeção de v_2 em u_1: \operatorname{proj}_{u_1} v_2 = \frac{v_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}\,u_1.Calcular v_2\cdot u_1 e u_1\cdot u_1: v_2\cdot u_1 = 1,\qquad u_1\cdot u_1 = \|u_1\|^2 = 2.Então \operatorname{proj}_{u_1} v_2 = \frac{1}{2}u_1 = \frac{1}{2}(-1,1,0)=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0\right).Assim u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1} v_2 = (-1,0,0) - \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0\right) = \left(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},0\right).
    • Norma de u_2: \|u_2\| = \sqrt{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2+0^2} = \sqrt{\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}} = \sqrt{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
    • Vetor unitário e_2: e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{\left(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},0\right)}{1/\sqrt{2}} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right).
    Observação: e_1 e e_2 estão no plano xy e são ortonormais (produto escalar zero e normas 1).
  • Terceiro vetor ortogonal u_3: subtrair de v_3 as projeções em u_1 e u_2: u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1} v_3 - \operatorname{proj}_{u_2} v_3.Calcule v_3\cdot u_1 e v_3\cdot u_2: v_3\cdot u_1 = (-4)(-1)+(-17)(1)+(-1)\cdot 0 = 4-17 = -13.
v_3\cdot u_2 = (-4)\left(-\tfrac{1}{2}\right)+(-17)\left(-\tfrac{1}{2}\right)+(-1)\cdot 0 = 2 + 8{,}5 = 10{,}5 = \tfrac{21}{2}.
Lembremos u_1\cdot u_1=2 e u_2\cdot u_2=\tfrac{1}{2}. Então
\operatorname{proj}_{u_1} v_3 = \frac{-13}{2}u_1 = \frac{-13}{2}(-1,1,0) = \left(\tfrac{13}{2},-\tfrac{13}{2},0\right),
\operatorname{proj}_{u_2} v_3 = \frac{(21/2)}{(1/2)}u_2 = 21\,u_2 = 21\left(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},0\right) = \left(-\tfrac{21}{2},-\tfrac{21}{2},0\right).
Agora:
v_3 - \operatorname{proj}_{u_1} v_3 = (-4,-17,-1) - \left(\tfrac{13}{2},-\tfrac{13}{2},0\right) = \left(-\tfrac{21}{2},-\tfrac{21}{2},-1\right).
Subtraindo também \operatorname{proj}_{u_2} v_3:
u_3 = \left(-\tfrac{21}{2},-\tfrac{21}{2},-1\right) - \left(-\tfrac{21}{2},-\tfrac{21}{2},0\right) = (0,0,-1).
  • Norma de u_3: \|u_3\|=\sqrt{0^2+0^2+(-1)^2}=1. Então u_3 já é unitário.
  • Vetor unitário e_3 = u_3 = (0,0,-1).
Resumo dos vetores ortonormais obtidos (cada passo está justificado acima):
e_1=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right),\quad e_2=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right),\quad e_3=(0,0,-1).

Passo 6

Interpretação final e recado de ânimo:
  • Sob a interpretação natural em que os vetores foram colocados em \mathbb{R}^3 com zeros faltantes, o conjunto original NÃO é ortogonal (porque v_1\cdot v_2=1\neq 0).
  • O conjunto ortonormal correspondente ao espaço gerado pelos vetores (ou seja, obtido aplicando Gram–Schmidt e normalizando) é \{e_1,e_2,e_3\} listado acima. Esse conjunto é ortonormal e forma uma base ortonormal de \mathbb{R}^3 (os três vetores são mutuamente ortogonais e unitários).
Se o enunciado realmente quis os vetores em dimensões diferentes (o que seria estranho), então não há como decidir sobre ortogonalidade entre eles sem primeiro colocá‑los no mesmo \mathbb{R}^n. Mas a interpretação com zeros finais é a mais prática e foi usada aqui. Força aí — já temos o passo a passo do Gram–Schmidt e o resultado prontinho para a prova!

Resposta

O conjunto não é ortogonal.
Conjunto ortonormal correspondente: \left\{\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0\right),\\ \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}},0\right),\\ (0,0,-1)\right\}

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