Para cada conjunto, determine se é ortogonal. Se for ortogonal, verifique se é ortonormal; caso não seja, determine o conjunto ortonormal correspondente.
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de vetores
As perguntas são:
- Determinar se o conjunto é ortogonal.
- Se for ortogonal, verificar se é ortonormal; se não for, determinar o conjunto ortonormal correspondente.
Observação crucial (extraída dos dados): os dois primeiros vetores têm
coordenadas (são vetores de
) e o terceiro tem
coordenadas (é vetor de
). Isso significa, literalmente, que como estão escritos os vetores não pertencem ao mesmo espaço
, logo não faz sentido falar de ortogonalidade entre todos eles ao mesmo tempo sem esclarecer o espaço em que estão. Vou explicar o que isso implica e adotar uma interpretação natural para poder resolver o problema seguindo a prática comum (não pedirei esclarecimentos).
Passo 2
O que significa “ortogonal” e “ortonormal” — aula rápida e prática:
- Dois vetores
e em são ortogonais se o produto interno (produto escalar) for zero: Para vetores em coordenadas, e , - Um conjunto de vetores é ortogonal se todo par distinto de vetores do conjunto for ortogonal.
- Um vetor
tem norma (comprimento) dada por . Um vetor é unitário se . - Um conjunto é ortonormal se for ortogonal e todos os vetores forem unitários.
- Se um conjunto dado não for ortogonal, pode-se obter um conjunto ortogonal (e daí ortonormal) aplicando o processo de Gram–Schmidt: gera-se vetores ortogonais
a partir dos e depois normaliza-se cada para obter . - Fórmula da projeção de
sobre (quando ):
Passo 3
Decisão sobre a incompatibilidade de dimensão e caminho que vou seguir:
- Como escrito, não é possível calcular produtos escalares entre, por exemplo,
e , porque têm dimensões diferentes. Se eu não assumisse nada, a conclusão honesta seria: "não há como decidir se o conjunto é ortogonal porque os vetores não estão no mesmo ". - Uma interpretação muito comum (e natural) em problemas assim é assumir que vetores com menos coordenadas têm implicitamente zeros nas coordenadas faltantes. Ou seja, interpretar os dois primeiros vetores como vetores de
com terceira componente : Essa interpretação faz sentido porque frequentemente autores omitem zeros finais. Vou seguir essa interpretação para poder dar uma resolução completa e prática (se a intenção do enunciado fosse outra, a resposta muda e é preciso corrigir os vetores).
Passo 4
Verificação direta de ortogonalidade sob a interpretação escolhida (
em
):
- Calcular
: Já temos um par com produto escalar não nulo, portanto o conjunto não é ortogonal (nem precisa checar mais pares para concluir isso). - Conclusão imediata: o conjunto, sob a interpretação
, NÃO é ortogonal.
(Vou seguir adiante e, conforme pedido, construir o conjunto ortonormal correspondente ao subespaço gerado por esses vetores usando Gram–Schmidt — isso é o que normalmente pedem quando dizem “caso não seja, determine o conjunto ortonormal correspondente”.)
Passo 5
Aplicando Gram–Schmidt (passo a passo, com explicações bem mastigadas):
- Primeiro vetor ortogonal
: escolha . - Norma de
: - Vetor unitário correspondente:
tem a mesma direção de e comprimento . - Norma de
- Segundo vetor ortogonal
: comece com e subtraia a projeção de em : Calcular e : Então Assim - Norma de
: - Vetor unitário
:
e estão no plano e são ortonormais (produto escalar zero e normas 1). - Norma de
- Terceiro vetor ortogonal
: subtrair de as projeções em e : Calcule e :
Lembremos
e
. Então
Agora:
Subtraindo também
:
- Norma de
: . Então já é unitário. - Vetor unitário
.
Resumo dos vetores ortonormais obtidos (cada passo está justificado acima):
Passo 6
Interpretação final e recado de ânimo:
- Sob a interpretação natural em que os vetores foram colocados em
com zeros faltantes, o conjunto original NÃO é ortogonal (porque ). - O conjunto ortonormal correspondente ao espaço gerado pelos vetores (ou seja, obtido aplicando Gram–Schmidt e normalizando) é
listado acima. Esse conjunto é ortonormal e forma uma base ortonormal de (os três vetores são mutuamente ortogonais e unitários).
Se o enunciado realmente quis os vetores em dimensões diferentes (o que seria estranho), então não há como decidir sobre ortogonalidade entre eles sem primeiro colocá‑los no mesmo
. Mas a interpretação com zeros finais é a mais prática e foi usada aqui. Força aí — já temos o passo a passo do Gram–Schmidt e o resultado prontinho para a prova!
Resposta
O conjunto não é ortogonal.
Conjunto ortonormal correspondente:
Conjunto ortonormal correspondente: