Para cada conjunto, determine se é ortogonal. Se for ortogonal, verifique se é ortonormal; caso não seja, determine o conjunto ortonormal correspondente.
\{(2,1),(3,-3)\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto formado por dois vetores em \mathbb{R}^2:
v_1=(2,1),\qquad v_2=(3,-3).
Pede-se:
  • Verificar se o conjunto é ortogonal.
  • Se for ortogonal, verificar se é ortonormal.
  • Se não for ortogonal, construir um conjunto ortonormal correspondente (isto é, um conjunto ortonormal que span os mesmos vetores iniciais — em prática, aplicar o processo de Gram–Schmidt e normalizar).

Passo 2

O que significa “ortogonal”? Dois vetores são ortogonais se o produto escalar (produto interno padrão em \mathbb{R}^2) entre eles é zero. O produto escalar entre a=(a_1,a_2) e b=(b_1,b_2) é
a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2.
Vamos calcular o produto escalar v_1\cdot v_2.

Passo 3

Calculemos v_1\cdot v_2:
v_1\cdot v_2 = (2,1)\cdot(3,-3) = 2\cdot 3 + 1\cdot(-3) = 6 - 3 = 3.
Como v_1\cdot v_2 = 3 \neq 0, os vetores não são ortogonais. Portanto o conjunto não é ortogonal e, consequentemente, também não é ortonormal.

Passo 4

Como não são ortogonais, vamos construir um conjunto ortonormal correspondente usando o processo de Gram–Schmidt: primeiro obtemos um vetor unitário na direção de v_1, depois ortogonalizamos v_2 em relação a esse e normalizamos.
Passo A: norma de v_1. A norma (comprimento) de v_1=(2,1) é
\|v_1\| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}.
O primeiro vetor unitário é
e_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|} = \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right).

Passo 5

Passo B: projetar v_2 sobre e_1 e subtrair para obter componente ortogonal. A projeção de v_2 em e_1 é
\mathrm{proj}_{e_1}(v_2) = (v_2\cdot e_1)\,e_1.
Calcule v_2\cdot e_1:
v_2\cdot e_1 = (3,-3)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{3\cdot 2 + (-3)\cdot 1}{\sqrt{5}} = \frac{6-3}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}.
Logo
\mathrm{proj}_{e_1}(v_2) = \frac{3}{\sqrt{5}}\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \left(\frac{6}{5},\frac{3}{5}\right).

Passo 6

Agora determinamos a componente de v_2 ortogonal a e_1:
u_2 = v_2 - \mathrm{proj}_{e_1}(v_2) = (3,-3) - \left(\frac{6}{5},\frac{3}{5}\right).
Calcule coordenada a coordenada:
u_2 = \left(3-\frac{6}{5},\,-3-\frac{3}{5}\right) = \left(\frac{15-6}{5},\,\frac{-15-3}{5}\right) = \left(\frac{9}{5},-\frac{18}{5}\right).
Note que u_2 é não nulo (portanto v_1 e v_2 eram linearmente independentes, ok para formar base).

Passo 7

Passo C: normalizar u_2 para obter e_2. Primeiro a norma de u_2:
\|u_2\| = \sqrt{\left(\frac{9}{5}\right)^2 + \left(-\frac{18}{5}\right)^2} = \frac{1}{5}\sqrt{9^2 + 18^2} = \frac{1}{5}\sqrt{81 + 324} = \frac{1}{5}\sqrt{405} = \frac{1}{5}\sqrt{81\cdot 5} = \frac{9\sqrt{5}}{5}.
Então
e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{\left(\frac{9}{5},-\frac{18}{5}\right)}{\frac{9\sqrt{5}}{5}} = \left(\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Observe que as componentes cancelaram limpamente — ficou bem simples.

Passo 8

Verificação rápida (para ficar seguro): produto escalar entre e_1 e e_2:
e_1\cdot e_2 = \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2\cdot 1 + 1\cdot(-2)}{5} = \frac{2-2}{5} = 0.
Normas:
\|e_1\|=1,\qquad \|e_2\|=1.
Portanto \{e_1,e_2\} é um conjunto ortonormal.

Resposta

O conjunto não é ortogonal.
Conjunto ortonormal correspondente: \left\{\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right),\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}},-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)\right\}

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