Para cada conjunto, determine se é ortogonal. Se for ortogonal, verifique se é ortonormal; caso não seja, determine o conjunto ortonormal correspondente.
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto formado por dois vetores em
:
Pede-se:
- Verificar se o conjunto é ortogonal.
- Se for ortogonal, verificar se é ortonormal.
- Se não for ortogonal, construir um conjunto ortonormal correspondente (isto é, um conjunto ortonormal que span os mesmos vetores iniciais — em prática, aplicar o processo de Gram–Schmidt e normalizar).
Passo 2
O que significa “ortogonal”? Dois vetores são ortogonais se o produto escalar (produto interno padrão em
) entre eles é zero. O produto escalar entre
e
é
Vamos calcular o produto escalar
.
Passo 3
Calculemos
:
Como
, os vetores não são ortogonais. Portanto o conjunto não é ortogonal e, consequentemente, também não é ortonormal.
Passo 4
Como não são ortogonais, vamos construir um conjunto ortonormal correspondente usando o processo de Gram–Schmidt: primeiro obtemos um vetor unitário na direção de
, depois ortogonalizamos
em relação a esse e normalizamos.
Passo A: norma de
. A norma (comprimento) de
é
O primeiro vetor unitário é
Passo 5
Passo B: projetar
sobre
e subtrair para obter componente ortogonal. A projeção de
em
é
Calcule
:
Logo
Passo 6
Agora determinamos a componente de
ortogonal a
:
Calcule coordenada a coordenada:
Note que
é não nulo (portanto
e
eram linearmente independentes, ok para formar base).
Passo 7
Passo C: normalizar
para obter
. Primeiro a norma de
:
Então
Observe que as componentes cancelaram limpamente — ficou bem simples.
Passo 8
Verificação rápida (para ficar seguro): produto escalar entre
e
:
Normas:
Portanto
é um conjunto ortonormal.
Resposta
O conjunto não é ortogonal.
Conjunto ortonormal correspondente:
Conjunto ortonormal correspondente: