Para cada conjunto, determine se é ortogonal. Se for ortogonal, verifique se é ortonormal; caso não seja, determine o conjunto ortonormal correspondente.
\left\{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}, 0,-\frac{\sqrt{2}}{6}\right)\right.,
\left.\left(0, \frac{\sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}\right),\left(\frac{\sqrt{5}}{5}, 0, \frac{1}{2}\right)\right\} .

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3:
\left\{\left(\frac{\sqrt{2}}{3},0,-\frac{\sqrt{2}}{6}\right),\;\left(0,\frac{\sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}\right),\;\left(\frac{\sqrt{5}}{5},0,\frac{1}{2}\right)\right\}.
O que se pede:
  • Determinar se esse conjunto é ortogonal (ou seja, se todos os pares de vetores são ortogonais entre si).
  • Se for ortogonal, verificar se é ortonormal.
  • Se não for ortogonal, construir o conjunto ortonormal correspondente (isto é, aplicar Gram–Schmidt e normalizar).
Informações relevantes dadas:
  • Os três vetores explicitados acima; usaremos o produto interno padrão em \mathbb{R}^3 (produto escalar \cdot) e a norma associada.

Passo 2

Lembrete / definição rápida (coisa que vai ajudar na prova):
  • Dois vetores x,y\in\mathbb{R}^3 são ortogonais se e somente se \,x\cdot y=0.
  • Um conjunto é ortogonal se todo par distinto de vetores do conjunto é ortogonal.
  • Um conjunto é ortonormal se for ortogonal e todos os vetores tiverem norma 1.
  • Produto interno padrão: para x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3) vale
x\cdot y = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3.
  • Norma: \|x\|=\sqrt{x\cdot x}.
  • Gram–Schmidt: dada uma família linearmente independente \{a_1,a_2,a_3\}, constrói-se
\begin{aligned} u_1 &= \frac{a_1}{\|a_1\|},\\[4pt] w_2 &= a_2 - (a_2\cdot u_1)u_1,\quad u_2=\frac{w_2}{\|w_2\|},\\[4pt] w_3 &= a_3 - (a_3\cdot u_1)u_1 - (a_3\cdot u_2)u_2,\quad u_3=\frac{w_3}{\|w_3\|}, \end{aligned}
onde \{u_1,u_2,u_3\} é ortonormal e gera o mesmo espaço que os a_i.]

Passo 3

Vamos checar ortogonalidade calculando os produtos escalares entre os vetores dados. Denotemos
a_1=\left(\frac{\sqrt{2}}{3},0,-\frac{\sqrt{2}}{6}\right),\quad a_2=\left(0,\frac{\sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}\right),\quad a_3=\left(\frac{\sqrt{5}}{5},0,\frac{1}{2}\right).
Calcule a_1\cdot a_2:
a_1\cdot a_2 = \frac{\sqrt{2}}{3}\cdot 0 + 0\cdot\frac{\sqrt{5}}{5} + \left(-\frac{\sqrt{2}}{6}\right)\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = \frac{\sqrt{2}}{6}\cdot\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{10}}{30}.
Esse produto escalar é diferente de zero, logo a_1 e a_2 não são ortogonais.
Como já existe um par não ortogonal, o conjunto inteiro NÃO é ortogonal. Portanto não é ortonormal.

Passo 4

Já que o conjunto não é ortogonal, vamos construir um conjunto ortonormal que gere o mesmo subespaço (aplicar Gram–Schmidt). Inicio com a_1.
Calcular \|a_1\|:
\|a_1\|^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 + 0^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{6}\right)^2 = \frac{2}{9} + \frac{2}{36} = \frac{4}{18} + \frac{1}{18} = \frac{5}{18}.
Portanto
\|a_1\| = \sqrt{\frac{5}{18}} = \frac{\sqrt{10}}{6}.
Normalizando:
u_1 = \frac{a_1}{\|a_1\|} = \left(\frac{\sqrt{2}}{3},0,-\frac{\sqrt{2}}{6}\right)\cdot\frac{6}{\sqrt{10}} = \left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}},0,-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}\right).
Simplificando usando \sqrt{10}=\sqrt{2}\sqrt{5}:
u_1=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},0,-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
Verificação rápida: \|u_1\|=1.

Passo 5

Agora processamos a_2. Primeiro projetamos a_2 sobre u_1:
a_2\cdot u_1 = 0\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{5}\cdot 0 + \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{1}{5}.
Então
w_2 = a_2 - (a_2\cdot u_1)u_1 = a_2 - \frac{1}{5}u_1.
Calculando componentes (faço fator comum para simplificar):
w_2 = \frac{1}{5\sqrt{5}}\,(-2,\,5,\,-4).
Agora a norma:
\|w_2\| = \frac{1}{5\sqrt{5}}\sqrt{(-2)^2+5^2+(-4)^2} = \frac{1}{5\sqrt{5}}\sqrt{45} = \frac{1}{5\sqrt{5}}\cdot 3\sqrt{5} = \frac{3}{5}.
Logo o vetor unitário correspondente é
u_2 = \frac{w_2}{\|w_2\|} = \frac{1}{3\sqrt{5}}\,(-2,\,5,\,-4) = \left(-\frac{2}{3\sqrt{5}},\;\frac{5}{3\sqrt{5}},\;-\frac{4}{3\sqrt{5}}\right).
Cheque mental: u_1\cdot u_2=0 (pode verificar usando as formas simplificadas).

Passo 6

Finalmente, processamos a_3. Projetamos a_3 sobre u_1 e u_2.
Calcule primeiras projeções (mostro as expressões e depois simplifico):
a_3\cdot u_1 = \frac{\sqrt{5}}{5}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2}{5} - \frac{1}{2\sqrt{5}}.
a_3\cdot u_2 = \frac{\sqrt{5}}{5}\cdot\left(-\frac{2}{3\sqrt{5}}\right) + \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{4}{3\sqrt{5}}\right) = -\frac{2}{15} - \frac{2}{3\sqrt{5}}.
Agora
w_3 = a_3 - (a_3\cdot u_1)u_1 - (a_3\cdot u_2)u_2.
Fazendo as contas detalhadas (soma/subtração de componentes, simplificando frações) obtém-se uma forma muito simples:
w_3 = \frac{\sqrt{5}+5}{45}\,(1,2,2).
Isto significa que w_3 é um múltiplo escalar do vetor (1,2,2). Calculando a norma:
\|w_3\| = \frac{\sqrt{5}+5}{45}\cdot\|(1,2,2)\| = \frac{\sqrt{5}+5}{45}\cdot 3 = \frac{\sqrt{5}+5}{15}.
Portanto o vetor unitário é
u_3 = \frac{w_3}{\|w_3\|} = \frac{1}{3}(1,2,2) = \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).

Passo 7

Resumo e verificação rápida: construímos
u_1=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},0,-\frac{1}{\sqrt{5}}\right),\quad u_2=\left(-\frac{2}{3\sqrt{5}},\frac{5}{3\sqrt{5}},-\frac{4}{3\sqrt{5}}\right),\quad u_3=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).
Cada u_i tem norma 1 e todos os produtos escalares u_i\cdot u_j com i\neq j são 0 (pode-se verificar substituindo). Assim \{u_1,u_2,u_3\} é ortonormal e gera o mesmo subespaço que \{a_1,a_2,a_3\}.
Força aí — o conjunto original não era ortogonal, mas agora tens a versão ortonormal pronta para usar na prova.

Resposta

Não é ortogonal.
\left\{\left(\frac{2}{\sqrt{5}},0,-\frac{1}{\sqrt{5}}\right),\left(-\frac{2}{3\sqrt{5}},\frac{5}{3\sqrt{5}},-\frac{4}{3\sqrt{5}}\right),\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)\right\}

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