Para cada conjunto, determine se é ortogonal. Se for ortogonal, verifique se é ortonormal; caso não seja, determine o conjunto ortonormal correspondente.
,
Passo 1
O enunciado fornece o conjunto de três vetores em
:
O que se pede:
- Determinar se esse conjunto é ortogonal (ou seja, se todos os pares de vetores são ortogonais entre si).
- Se for ortogonal, verificar se é ortonormal.
- Se não for ortogonal, construir o conjunto ortonormal correspondente (isto é, aplicar Gram–Schmidt e normalizar).
Informações relevantes dadas:
- Os três vetores explicitados acima; usaremos o produto interno padrão em
(produto escalar ) e a norma associada.
Passo 2
Lembrete / definição rápida (coisa que vai ajudar na prova):
- Dois vetores
são ortogonais se e somente se . - Um conjunto é ortogonal se todo par distinto de vetores do conjunto é ortogonal.
- Um conjunto é ortonormal se for ortogonal e todos os vetores tiverem norma
. - Produto interno padrão: para
e vale
- Norma:
. - Gram–Schmidt: dada uma família linearmente independente
, constrói-se
onde
é ortonormal e gera o mesmo espaço que os
.]
Passo 3
Vamos checar ortogonalidade calculando os produtos escalares entre os vetores dados. Denotemos
Calcule
:
Esse produto escalar é diferente de zero, logo
e
não são ortogonais.
Como já existe um par não ortogonal, o conjunto inteiro NÃO é ortogonal. Portanto não é ortonormal.
Passo 4
Já que o conjunto não é ortogonal, vamos construir um conjunto ortonormal que gere o mesmo subespaço (aplicar Gram–Schmidt). Inicio com
.
Calcular
:
Portanto
Normalizando:
Simplificando usando
:
Verificação rápida:
.
Passo 5
Agora processamos
. Primeiro projetamos
sobre
:
Então
Calculando componentes (faço fator comum para simplificar):
Agora a norma:
Logo o vetor unitário correspondente é
Cheque mental:
(pode verificar usando as formas simplificadas).
Passo 6
Finalmente, processamos
. Projetamos
sobre
e
.
Calcule primeiras projeções (mostro as expressões e depois simplifico):
Agora
Fazendo as contas detalhadas (soma/subtração de componentes, simplificando frações) obtém-se uma forma muito simples:
Isto significa que
é um múltiplo escalar do vetor
. Calculando a norma:
Portanto o vetor unitário é
Passo 7
Resumo e verificação rápida: construímos
Cada
tem norma
e todos os produtos escalares
com
são
(pode-se verificar substituindo). Assim
é ortonormal e gera o mesmo subespaço que
.
Força aí — o conjunto original não era ortogonal, mas agora tens a versão ortonormal pronta para usar na prova.
Resposta
Não é ortogonal.