Para cada conjunto, determine se é ortogonal. Se for ortogonal, verifique se é ortonormal; caso não seja, determine o conjunto ortonormal correspondente.
.
Passo 1
O enunciado pede:
- Determinar se o conjunto
é ortogonal. - Se for ortogonal, verificar se é ortonormal; se não for, determinar o conjunto ortonormal correspondente.
Informações dadas (peguei do enunciado):
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “ortogonal” e “ortonormal” e as fórmulas que vamos usar.
- Produto interno (ou produto escalar) em
: para e ,
Duas vetores são ortogonais se o produto interno for zero:
.
- Norma (comprimento) de
:
Um conjunto é ortonormal se os vetores são mutuamente ortogonais e cada um tem norma
.
Como os vetores já estão em
e não foi indicado outro método, vamos calcular os produtos escalares entre pares para testar ortogonalidade e depois as normas para testar ortonormalidade. Se não forem unitários, como são ortogonais, basta normalizar cada vetor (dividir por sua norma) para obter o conjunto ortonormal correspondente.
Passo 3
Calcular os produtos escalares par a par.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Passo 4
Como todos os produtos escalares par a par são zero, o conjunto é ortogonal:
Boa notícia: como já é ortogonal, para obter um conjunto ortonormal correspondente basta normalizar cada vetor (dividir cada vetor pela sua norma). Isso é mais simples do que aplicar Gram–Schmidt do zero.
Passo 5
Calcular as normas de cada vetor (vamos mostrar as contas para poder normalizar sem erro).
Norma de
:
Norma de
:
Norma de
:
Passo 6
Verificação de ortonormalidade: um conjunto ortogonal é ortonormal somente se todas as normas forem
. Aqui
Portanto o conjunto não é ortonormal.
Passo 7
Construir o conjunto ortonormal correspondente normalizando cada vetor. Definimos
Calcular componentes simplificadas:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Verificações rápidas (só para ficar tranquilo): mostrar que
tem norma
e que
é ortogonal a
.
Norma de
:
Produto
:
Como normalizar preserva ortogonalidade, os três
serão mutuamente ortogonais e unitários, ou seja, formam um conjunto ortonormal.
Resposta
É ortogonal: sim.
É ortonormal: não.
Conjunto ortonormal correspondente:
É ortonormal: não.
Conjunto ortonormal correspondente: