Para cada conjunto, determine se é ortogonal. Se for ortogonal, verifique se é ortonormal; caso não seja, determine o conjunto ortonormal correspondente.
\{(2,-4,2),(0,2,4),(-10,-4,2)\}.

Passo 1

O enunciado pede:
  • Determinar se o conjunto \{(2,-4,2),(0,2,4),(-10,-4,2)\} é ortogonal.
  • Se for ortogonal, verificar se é ortonormal; se não for, determinar o conjunto ortonormal correspondente.
Informações dadas (peguei do enunciado):
  • \mathbf{v}_1=(2,-4,2)
  • \mathbf{v}_2=(0,2,4)
  • \mathbf{v}_3=(-10,-4,2)

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “ortogonal” e “ortonormal” e as fórmulas que vamos usar.
  • Produto interno (ou produto escalar) em \mathbb{R}^3: para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\langle \mathbf{a},\mathbf{b}\rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
Duas vetores são ortogonais se o produto interno for zero: \langle \mathbf{a},\mathbf{b}\rangle=0.
  • Norma (comprimento) de \mathbf{a}:
\|\mathbf{a}\| = \sqrt{\langle \mathbf{a},\mathbf{a}\rangle} = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Um conjunto é ortonormal se os vetores são mutuamente ortogonais e cada um tem norma 1.
Como os vetores já estão em \mathbb{R}^3 e não foi indicado outro método, vamos calcular os produtos escalares entre pares para testar ortogonalidade e depois as normas para testar ortonormalidade. Se não forem unitários, como são ortogonais, basta normalizar cada vetor (dividir por sua norma) para obter o conjunto ortonormal correspondente.

Passo 3

Calcular os produtos escalares par a par.
Cálculo de \langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle:
\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle = 2\cdot 0 + (-4)\cdot 2 + 2\cdot 4 = 0 -8 +8 = 0.
Cálculo de \langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle:
\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle = 2\cdot(-10) + (-4)\cdot(-4) + 2\cdot 2 = -20 +16 +4 = 0.
Cálculo de \langle \mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\rangle:
\langle \mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\rangle = 0\cdot(-10) + 2\cdot(-4) + 4\cdot 2 = 0 -8 +8 = 0.

Passo 4

Como todos os produtos escalares par a par são zero, o conjunto é ortogonal:
\langle \mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle = 0 \quad\text{para } i\neq j.
Boa notícia: como já é ortogonal, para obter um conjunto ortonormal correspondente basta normalizar cada vetor (dividir cada vetor pela sua norma). Isso é mais simples do que aplicar Gram–Schmidt do zero.

Passo 5

Calcular as normas de cada vetor (vamos mostrar as contas para poder normalizar sem erro).
Norma de \mathbf{v}_1:
\|\mathbf{v}_1\|^2 = 2^2 + (-4)^2 + 2^2 = 4 + 16 + 4 = 24, \qquad \|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.
Norma de \mathbf{v}_2:
\|\mathbf{v}_2\|^2 = 0^2 + 2^2 + 4^2 = 0 + 4 + 16 = 20, \qquad \|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
Norma de \mathbf{v}_3:
\|\mathbf{v}_3\|^2 = (-10)^2 + (-4)^2 + 2^2 = 100 + 16 + 4 = 120, \qquad \|\mathbf{v}_3\| = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}.

Passo 6

Verificação de ortonormalidade: um conjunto ortogonal é ortonormal somente se todas as normas forem 1. Aqui
\|\mathbf{v}_1\| = 2\sqrt{6}\neq 1,\qquad \|\mathbf{v}_2\| = 2\sqrt{5}\neq 1,\qquad \|\mathbf{v}_3\| = 2\sqrt{30}\neq 1.
Portanto o conjunto não é ortonormal.

Passo 7

Construir o conjunto ortonormal correspondente normalizando cada vetor. Definimos
\mathbf{u}_1 = \frac{\mathbf{v}_1}{\|\mathbf{v}_1\|},\qquad \mathbf{u}_2 = \frac{\mathbf{v}_2}{\|\mathbf{v}_2\|},\qquad \mathbf{u}_3 = \frac{\mathbf{v}_3}{\|\mathbf{v}_3\|}.
Calcular componentes simplificadas:
Para \mathbf{u}_1:
\mathbf{u}_1 = \frac{1}{2\sqrt{6}}(2,-4,2) = \left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}\right).
Para \mathbf{u}_2:
\mathbf{u}_2 = \frac{1}{2\sqrt{5}}(0,2,4) = \left(0,\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Para \mathbf{u}_3:
\mathbf{u}_3 = \frac{1}{2\sqrt{30}}(-10,-4,2) = \left(-\frac{5}{\sqrt{30}},-\frac{2}{\sqrt{30}},\frac{1}{\sqrt{30}}\right).

Passo 8

Verificações rápidas (só para ficar tranquilo): mostrar que \mathbf{u}_1 tem norma 1 e que \mathbf{u}_1 é ortogonal a \mathbf{u}_2.
Norma de \mathbf{u}_1:
\|\mathbf{u}_1\|^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2 + \left(-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2 = \frac{1+4+1}{6} = \frac{6}{6} = 1.
Produto \langle \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\rangle:
\langle \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}\cdot 0 + \left(-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + \frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{-2+2}{\sqrt{30}} = 0.
Como normalizar preserva ortogonalidade, os três \mathbf{u}_i serão mutuamente ortogonais e unitários, ou seja, formam um conjunto ortonormal.

Resposta

É ortogonal: sim.
É ortonormal: não.
Conjunto ortonormal correspondente:
\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}\right)
\displaystyle \left(0,\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)
\displaystyle \left(-\frac{5}{\sqrt{30}},-\frac{2}{\sqrt{30}},\frac{1}{\sqrt{30}}\right)

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