Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é compacto ou não. Se não for compacto, dê exemplo de uma sequência de elementos do conjunto que não possua uma subsequência convergente e dê exemplo de uma cobertura aberta para o conjunto que não possua subcobertura finita.
\mathbb{Q} \cap[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para analisar o conjunto \mathbb{Q}\cap[0,1] quanto a ser compacto em \mathbb{R}.
Conteúdo: em \mathbb{R}, um conjunto é compacto sse for fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel) ou, equivalentemente, sse toda sequência nele tem subsequência convergente cujo limite pertence ao conjunto (compacidade sequencial). Para mostrar que \mathbb{Q}\cap[0,1] não é compacto, basta ver que ou falha ser fechado ou falha a condição de sequência, e também exibir uma cobertura aberta sem subcobertura finita.

Passo 2

Verificamos restrição de fechado e limitado:
  • Limitado: claramente \mathbb{Q}\cap[0,1]\subset[0,1], logo é limitado.
  • Fechado: não é fechado em \mathbb{R} porque, por exemplo, a sequência de racionais que aproxima \sqrt{2}/2\notin\mathbb{Q} tem limite em \mathbb{R} que não pertence ao conjunto. Logo existem pontos de acumulação (irracionais em [0,1]) que não estão no conjunto, de modo que ele não é fechado. Conclusão: falha a condição “fechado e limitado” e, portanto, \mathbb{Q}\cap[0,1] não é compacto.

Passo 3

Para ilustrar a falha da compacidade sequencial, damos um exemplo de sequência em \mathbb{Q}\cap[0,1] sem subsequência convergente com limite em \mathbb{Q}\cap[0,1]. Seja
x_n = \frac{\lfloor 10^n\frac{\sqrt{2}}2\rfloor}{10^n},
que é racional e satisfaz 0\le x_n\le1. Temos \lim_{n\to\infty}x_n=\frac{\sqrt{2}}2, mas \frac{\sqrt{2}}2\notin\mathbb{Q}. Qualquer subsequência de (x_n) também converge a \sqrt{2}/2, que não está no conjunto, logo não existe nenhuma subsequência convergente cujo limite caia em \mathbb{Q}\cap[0,1].

Passo 4

Construímos agora uma cobertura aberta de \mathbb{Q}\cap[0,1] que não admite subcobertura finita. Seja (q_k)_{k=1}^\infty uma enumeração dos elementos de \mathbb{Q}\cap[0,1]. Para cada k, defina
U_k \;=\;\bigl(q_k-\varepsilon_k,\;q_k+\varepsilon_k\bigr)\cap[0,1],
onde \varepsilon_k>0 é escolhido arbitrariamente pequeno (por exemplo \varepsilon_k=1/2^k). Cada U_k é aberto em \mathbb{R} e claramente
\bigcup_{k=1}^{\infty}U_k\;\supset\;\{q_k\mid k\in\mathbb{N}\} \;=\;\mathbb{Q}\cap[0,1].
Porém, se tomarmos apenas um número finito U_{k_1},\dots,U_{k_N}, então cobriríamos apenas os racionais q_{k_1},\dots,q_{k_N}, faltando infinitos outros q_j. Assim não há subcobertura finita.

Resposta

\mathbb{Q}\cap[0,1] não é compacto.
Exemplo de sequência sem subsequência convergente em \mathbb{Q}\cap[0,1]:
x_n = \frac{\lfloor 10^n\frac{\sqrt{2}}2\rfloor}{10^n},
que converge a \sqrt{2}/2\notin\mathbb{Q}\cap[0,1].
Exemplo de cobertura aberta sem subcobertura finita:
\{\,U_k=(q_k-\varepsilon_k,\;q_k+\varepsilon_k)\cap[0,1]\mid k\in\mathbb{N}\},
onde (q_k) enumera \mathbb{Q}\cap[0,1] e cada \varepsilon_k>0.

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