Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é compacto ou não. Se não for compacto, dê exemplo de uma sequência de elementos do conjunto que não possua uma subsequência convergente e dê exemplo de uma cobertura aberta para o conjunto que não possua subcobertura finita.
Passo 1
O enunciado pede para analisar o conjunto
quanto a ser compacto em
.
Conteúdo: em , um conjunto é compacto sse for fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel) ou, equivalentemente, sse toda sequência nele tem subsequência convergente cujo limite pertence ao conjunto (compacidade sequencial). Para mostrar que
não é compacto, basta ver que ou falha ser fechado ou falha a condição de sequência, e também exibir uma cobertura aberta sem subcobertura finita.
Conteúdo: em
Passo 2
Verificamos restrição de fechado e limitado:
- Limitado: claramente
, logo é limitado. - Fechado: não é fechado em
porque, por exemplo, a sequência de racionais que aproxima tem limite em que não pertence ao conjunto. Logo existem pontos de acumulação (irracionais em ) que não estão no conjunto, de modo que ele não é fechado. Conclusão: falha a condição “fechado e limitado” e, portanto, não é compacto.
Passo 3
Para ilustrar a falha da compacidade sequencial, damos um exemplo de sequência em
sem subsequência convergente com limite em
. Seja
que é racional e satisfaz
. Temos
, mas
. Qualquer subsequência de
também converge a
, que não está no conjunto, logo não existe nenhuma subsequência convergente cujo limite caia em
.
Passo 4
Construímos agora uma cobertura aberta de
que não admite subcobertura finita. Seja
uma enumeração dos elementos de
. Para cada
, defina
onde
é escolhido arbitrariamente pequeno (por exemplo
). Cada
é aberto em
e claramente
Porém, se tomarmos apenas um número finito
, então cobriríamos apenas os racionais
, faltando infinitos outros
. Assim não há subcobertura finita.
Resposta
Exemplo de sequência sem subsequência convergente em
que converge a
.
Exemplo de cobertura aberta sem subcobertura finita:
Exemplo de cobertura aberta sem subcobertura finita:
onde
enumera
e cada
.