Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é compacto ou não. Se não for compacto, dê exemplo de uma sequência de elementos do conjunto que não possua uma subsequência convergente e dê exemplo de uma cobertura aberta para o conjunto que não possua subcobertura finita.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é compacto em
.
O conteúdo principal é o critério de Heine–Borel em : um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.
O conteúdo principal é o critério de Heine–Borel em
Passo 2
Mostramos que
é limitado. Para todo elemento da forma
com
vale
e há ainda o ponto
. Logo
isto é,
, logo é limitado.
Passo 3
Mostramos que
é fechado, i.e.\ contém todos os seus pontos de acumulação. A única possível acumulação da sequência
é
e
. Não há outro ponto de acumulação. Portanto
contém todos os seus pontos-limite e é fechado.
Passo 4
Como
é limitado e fechado em
, pelo Teorema de Heine–Borel
é compacto.
Resposta
O conjunto
é compacto.