Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é compacto ou não. Se não for compacto, dê exemplo de uma sequência de elementos do conjunto que não possua uma subsequência convergente e dê exemplo de uma cobertura aberta para o conjunto que não possua subcobertura finita.
{1,1 / 2,2 / 3,3 / 4,4 / 5, \ldots}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
A = \{\,1,\tfrac12,\tfrac23,\tfrac34,\tfrac45,\dots\}
é compacto em \mathbb{R}.
O conteúdo principal é o critério de Heine–Borel em \mathbb{R}: um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.

Passo 2

Mostramos que A é limitado. Para todo elemento da forma \tfrac{n}{n+1} com n\ge1 vale
0 < \frac{n}{n+1} < 1,
e há ainda o ponto 1. Logo
0 < x \le 1 \quad\text{para todo }x\in A,
isto é, A\subseteq(0,1], logo é limitado.

Passo 3

Mostramos que A é fechado, i.e.\ contém todos os seus pontos de acumulação. A única possível acumulação da sequência \tfrac{n}{n+1} é
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1,
e 1 \in A. Não há outro ponto de acumulação. Portanto A contém todos os seus pontos-limite e é fechado.

Passo 4

Como A é limitado e fechado em \mathbb{R}, pelo Teorema de Heine–Borel A é compacto.

Resposta

O conjunto A é compacto.

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