Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é compacto ou não. Se não for compacto, dê exemplo de uma sequência de elementos do conjunto que não possua uma subsequência convergente e dê exemplo de uma cobertura aberta para o conjunto que não possua subcobertura finita.
O conjunto de Cantor.
O conjunto de Cantor.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o conjunto de Cantor é compacto em
. Vamos usar que, em
, um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel).
Passo 2
Lembramos que o conjunto de Cantor
é construído como
onde
e cada
resulta de remover o terço central de cada intervalo em
. Cada
é fechado em
, portanto a interseção
é também fechada em
.
Passo 3
Além disso,
, logo
é limitado. Assim mostramos que
é fechado e limitado.
Passo 4
Pelo Teorema de Heine–Borel, qualquer conjunto fechado e limitado em
é compacto. Portanto
é compacto.
Resposta
O conjunto de Cantor é compacto.