Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é compacto ou não. Se não for compacto, dê exemplo de uma sequência de elementos do conjunto que não possua uma subsequência convergente e dê exemplo de uma cobertura aberta para o conjunto que não possua subcobertura finita.
O conjunto de Cantor.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto de Cantor é compacto em \mathbb{R}. Vamos usar que, em \mathbb{R}, um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel).

Passo 2

Lembramos que o conjunto de Cantor C é construído como
C = \bigcap_{n=0}^{\infty} C_n,
onde C_0=[0,1] e cada C_{n+1} resulta de remover o terço central de cada intervalo em C_n. Cada C_n é fechado em \mathbb{R}, portanto a interseção
C = \bigcap_{n=0}^\infty C_n
é também fechada em \mathbb{R}.

Passo 3

Além disso, C\subset [0,1], logo C é limitado. Assim mostramos que C é fechado e limitado.

Passo 4

Pelo Teorema de Heine–Borel, qualquer conjunto fechado e limitado em \mathbb{R} é compacto. Portanto C é compacto.

Resposta

O conjunto de Cantor é compacto.

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