Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é compacto ou não. Se não for compacto, dê exemplo de uma sequência de elementos do conjunto que não possua uma subsequência convergente e dê exemplo de uma cobertura aberta para o conjunto que não possua subcobertura finita.
Passo 1
O enunciado nos pede para analisar se o conjunto
é compacto. Vamos usar dois critérios de não compacidade:
- Exibir uma sequência em
sem subsequência convergente. - Construir uma cobertura aberta de
que não admite subcobertura finita.
Passo 2
Em
, pelo Teorema de Heine–Borel, um subconjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.
– O conjunto é fechado em
(pois seu complementar é a união de intervalos abertos).
– Porém não é limitado, pois não existe
tal que
.
Logo não satisfaz o critério de Heine–Borel e não é compacto.
– O conjunto
– Porém
Logo
Passo 3
Sequência sem subsequência convergente: defina
Essa sequência tende a
. Qualquer subsequência
também satisfaz
, logo não converge em
. Assim não existe subsequência convergente.
Passo 4
Cobertura aberta sem subcobertura finita: para cada
, tome o aberto
Então
cobre
, pois cada
pertence a
. Porém, se escolhermos apenas um número finito de índices
, a união
fica contida em
e não atinge todo
. Portanto não há subcobertura finita.