Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é compacto ou não. Se não for compacto, dê exemplo de uma sequência de elementos do conjunto que não possua uma subsequência convergente e dê exemplo de uma cobertura aberta para o conjunto que não possua subcobertura finita.
\mathbb{N}

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar se o conjunto \mathbb{N}\subset\mathbb{R} é compacto. Vamos usar dois critérios de não compacidade:
  1. Exibir uma sequência em \mathbb{N} sem subsequência convergente.
  2. Construir uma cobertura aberta de \mathbb{N} que não admite subcobertura finita.

Passo 2

Em \mathbb{R}, pelo Teorema de Heine–Borel, um subconjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.
– O conjunto \mathbb{N} é fechado em \mathbb{R} (pois seu complementar é a união de intervalos abertos).
– Porém \mathbb{N} não é limitado, pois não existe M>0 tal que \mathbb{N}\subset[-M,M].
Logo \mathbb{N} não satisfaz o critério de Heine–Borel e não é compacto.

Passo 3

Sequência sem subsequência convergente: defina
a_n = n,\quad n\in\mathbb{N}.
Essa sequência tende a +\infty. Qualquer subsequência (a_{n_k}) também satisfaz a_{n_k}\to+\infty, logo não converge em \mathbb{R}. Assim não existe subsequência convergente.

Passo 4

Cobertura aberta sem subcobertura finita: para cada k\in\mathbb{N}, tome o aberto
U_k = \bigl(k - \tfrac12,\;k + \tfrac12\bigr).
Então \{U_k\}_{k=1}^\infty cobre \mathbb{N}, pois cada n\in\mathbb{N} pertence a U_n. Porém, se escolhermos apenas um número finito de índices k_1,\dots,k_m, a união \bigcup_{i=1}^m U_{k_i} fica contida em \bigl(-\infty,\max\{k_i\}+\tfrac12\bigr) e não atinge todo \mathbb{N}. Portanto não há subcobertura finita.

Resposta

\mathbb{N} não é compacto.

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