Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é compacto ou não. Se não for compacto, dê exemplo de uma sequência de elementos do conjunto que não possua uma subsequência convergente e dê exemplo de uma cobertura aberta para o conjunto que não possua subcobertura finita.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é compacto em
.
O critério de Heine–Borel em diz que um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Vamos usar isso para decidir a compacidade de
.
O critério de Heine–Borel em
Passo 2
Primeiro,
é limitado porque
Porém,
não é fechado em
, pois seu ponto de acumulação
não pertence a
. Logo,
não satisfaz Heine–Borel e, portanto, não é compacto.
Passo 3
Para ilustrar a falha da definição sequencial de compacidade, considere a sequência
dada por
Qualquer subsequência de
também converge para
, mas
. Assim, não existe subsequência de
que converja a um ponto de
.
Passo 4
Para mostrar que não há subcobertura finita, vamos construir uma cobertura aberta de
que não admita seleção finita. Defina
Cada ponto
pertence a
, logo
Porém, se escolhermos apenas os abertos
, o ponto
não fica coberto (pois
para
). Logo, não existe subcobertura finita.