Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é compacto ou não. Se não for compacto, dê exemplo de uma sequência de elementos do conjunto que não possua uma subsequência convergente e dê exemplo de uma cobertura aberta para o conjunto que não possua subcobertura finita.
{1,1 / 2,1 / 3,1 / 4,1 / 5, \ldots}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
X=\{1,\,1/2,\,1/3,\,1/4,\,\dots\}
é compacto em \mathbb{R}.
O critério de Heine–Borel em \mathbb{R} diz que um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Vamos usar isso para decidir a compacidade de X.

Passo 2

Primeiro, X é limitado porque
0<1/n\le1\quad\forall n\in\mathbb{N}.
Porém, X não é fechado em \mathbb{R}, pois seu ponto de acumulação 0 não pertence a X. Logo, X não satisfaz Heine–Borel e, portanto, não é compacto.

Passo 3

Para ilustrar a falha da definição sequencial de compacidade, considere a sequência (x_n)\subset X dada por
x_n = \frac1n.
Qualquer subsequência de (x_n) também converge para 0, mas 0\notin X. Assim, não existe subsequência de (x_n) que converja a um ponto de X.

Passo 4

Para mostrar que não há subcobertura finita, vamos construir uma cobertura aberta de X que não admita seleção finita. Defina
U_1 = \bigl(\tfrac12,\;2\bigr),
U_n = \Bigl(\tfrac{1}{n+1},\;\tfrac{1}{n-1}\Bigr)\quad(n\ge2).
Cada ponto 1/n\in X pertence a U_n, logo
X \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} U_n.
Porém, se escolhermos apenas os abertos U_1,\dots,U_N, o ponto
\frac{1}{N+1}
não fica coberto (pois \frac1{N+1}\notin U_k para k\le N). Logo, não existe subcobertura finita.

Resposta

X não é compacto.

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