(a) Todo subconjunto discreto de
é fechado? Explique.
(b) Todo subconjunto discreto e compacto dde
é finito? Explique.
(c) Todo subconjunto discreto de
é enumerável? Explique.
(b) Todo subconjunto discreto e compacto dde
(c) Todo subconjunto discreto de
Passo 1
O enunciado pede para estudar subconjuntos discretos de
e verificar três coisas:
– (a) se todo discreto é fechado;
– (b) se todo discreto que além disso é compacto é finito;
– (c) se todo discreto é enumerável.
Vamos usar a definição de discreto, fatores de compacidade em e o fato de que
é denso e contável.
– (a) se todo discreto é fechado;
– (b) se todo discreto que além disso é compacto é finito;
– (c) se todo discreto é enumerável.
Vamos usar a definição de discreto, fatores de compacidade em
Passo 2
Definição de discreto. Um subconjunto
é chamado discreto quando todo ponto
é isolado, isto é, existe
tal que
Em outras palavras, cada
tem um pequeno intervalo ao redor que não contém mais nenhum outro ponto de
.
Passo 3
(a) Nem todo discreto é fechado. Considere
Para cada
escolhemos
(com ajuste para
); assim
logo
é discreto. Mas
é ponto de acumulação de
e
, então
não contém todas as suas fronteiras e não é fechado.
Passo 4
(b) Se
é discreto e compacto, então
é finito. Prova por contradição: suponha
infinito. Para cada
tome um intervalo isolante
com
O conjunto
é um recobrimento aberto de
, mas nenhuma subcoleção finita cobre
(cada
cobre só
). Isso contradiz a compacidade de
. Logo
não pode ser infinito, é finito.
Passo 5
(c) Todo discreto
é, no máximo, numerável. Como
é denso e contável, para cada
escolhemos um intervalo isolante
. Nesse intervalo existe algum racional
. O mapa
é injetor de
em
. Assim
, ou seja,
é finito ou enumerável infinito.
Resposta
(a) Não. Por exemplo
é discreto mas não contém seu ponto de acumulação
, logo não é fechado.
(b) Sim. Se fosse infinito poderíamos construir um recobrimento sem subcobertura finita, contrariando compacidade.
(c) Sim. Cada ponto isolado define um pequeno intervalo que contém um único racional, dando uma injeção em , que é contável.
(b) Sim. Se fosse infinito poderíamos construir um recobrimento sem subcobertura finita, contrariando compacidade.
(c) Sim. Cada ponto isolado define um pequeno intervalo que contém um único racional, dando uma injeção em