(a) Todo subconjunto discreto de \mathbb{R} é fechado? Explique.
(b) Todo subconjunto discreto e compacto dde \mathbb{R} é finito? Explique.
(c) Todo subconjunto discreto de \mathbb{R} é enumerável? Explique.

Passo 1

O enunciado pede para estudar subconjuntos discretos de \mathbb{R} e verificar três coisas:
– (a) se todo discreto é fechado;
– (b) se todo discreto que além disso é compacto é finito;
– (c) se todo discreto é enumerável.
Vamos usar a definição de discreto, fatores de compacidade em \mathbb{R} e o fato de que \mathbb{Q} é denso e contável.

Passo 2

Definição de discreto. Um subconjunto S\subset\mathbb{R} é chamado discreto quando todo ponto x\in S é isolado, isto é, existe \varepsilon>0 tal que
(x-\varepsilon,\;x+\varepsilon)\;\cap\;S \;=\;\{x\}.
Em outras palavras, cada x\in S tem um pequeno intervalo ao redor que não contém mais nenhum outro ponto de S.

Passo 3

(a) Nem todo discreto é fechado. Considere
S = \bigl\{\,1/n : n\in\mathbb{N}\bigr\}.
Para cada 1/n escolhemos \varepsilon_n = \tfrac12\min\bigl\{\tfrac1n-\tfrac1{n+1},\,\tfrac1{n-1}-\tfrac1n\bigr\} (com ajuste para n=1); assim
(1/n-\varepsilon_n,\;1/n+\varepsilon_n)\cap S=\{1/n\},
logo S é discreto. Mas 0 é ponto de acumulação de S e 0\notin S, então S não contém todas as suas fronteiras e não é fechado.

Passo 4

(b) Se S\subset\mathbb{R} é discreto e compacto, então S é finito. Prova por contradição: suponha S infinito. Para cada x\in S tome um intervalo isolante U_x com
U_x\cap S=\{x\}.
O conjunto \{U_x : x\in S\} é um recobrimento aberto de S, mas nenhuma subcoleção finita cobre S (cada U_x cobre só x). Isso contradiz a compacidade de S. Logo S não pode ser infinito, é finito.

Passo 5

(c) Todo discreto S\subset\mathbb{R} é, no máximo, numerável. Como \mathbb{Q} é denso e contável, para cada x\in S escolhemos um intervalo isolante (x-\varepsilon_x,x+\varepsilon_x). Nesse intervalo existe algum racional q_x. O mapa
x\;\longmapsto\;q_x
é injetor de S em \mathbb{Q}. Assim \lvert S\rvert\le\lvert\mathbb{Q}\rvert, ou seja, S é finito ou enumerável infinito.

Resposta

(a) Não. Por exemplo S=\{1/n:n\in\mathbb{N}\} é discreto mas não contém seu ponto de acumulação 0, logo não é fechado.
(b) Sim. Se fosse infinito poderíamos construir um recobrimento sem subcobertura finita, contrariando compacidade.
(c) Sim. Cada ponto isolado define um pequeno intervalo que contém um único racional, dando uma injeção em \mathbb{Q}, que é contável.

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