Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se ele é um subespaço do
. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o conjunto
é um subespaço de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Elementos de
são vetores da forma sujeitos à condição . - A pergunta exige uma justificativa (ou seja, devemos verificar as propriedades necessárias para um subespaço).]
Passo 2
Lembrete didático: o que significa ser subespaço de
.
- Um subconjunto
é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades (ou, de forma equivalente, duas além de não ser vazio): - O vetor zero
pertence a . - Fechamento por soma: se
e então . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e então .
- O vetor zero
- Explicação curta: essas condições garantem que
herda da as operações de soma e escalar, formando um espaço vetorial por si só.
Passo 3
Verificar se o vetor zero pertence a
.
- Tomando
temos , logo
- Portanto
é não vazio e contém o vetor zero, cumprindo a primeira condição.]
Passo 4
Verificar fechamento por soma (passo a passo explícito).
- Seja
e . Pelas hipóteses temos e . - Calcule a soma:
- Substituindo
e obtemos
- Assim a primeira coordenada de
é exatamente vezes a segunda coordenada de . Portanto
- Conclusão:
é fechado por soma.]
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar (passo a passo).
- Seja
com e seja . - Calcule
:
- A primeira coordenada de
é vezes a segunda coordenada de , logo . - Conclusão:
é fechado por multiplicação escalar.]
Passo 6
Conclusão combinada e interpretação útil.
- Já mostramos que
contém o zero, é fechado por soma e por multiplicação escalar. Portanto é um subespaço de . - Representação paramétrica (aula prática): colocando
obtemos
- Isso mostra que
é exatamente o conjunto , ou seja,
um subespaço unidimensional (uma reta passando pela origem).]
Resposta
Sim.
é subespaço de
e
.]