Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se ele é um subespaço do \mathbb{R}^{2}. Justifique sua resposta.
\left\{\binom{x_{1}}{x_{2}} ; x_{1}=3 x_{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto
S=\left\{\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}\\ ;\\ x_{1}=3x_{2}\right\}
é um subespaço de \mathbb{R}^{2}.
Informações dadas:
  • Elementos de S são vetores da forma \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix} sujeitos à condição x_{1}=3x_{2}.
  • A pergunta exige uma justificativa (ou seja, devemos verificar as propriedades necessárias para um subespaço).]

Passo 2

Lembrete didático: o que significa ser subespaço de \mathbb{R}^{2}.
  • Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{2} é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades (ou, de forma equivalente, duas além de não ser vazio):
    1. O vetor zero \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} pertence a W.
    2. Fechamento por soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
    3. Fechamento por multiplicação escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W.
  • Explicação curta: essas condições garantem que W herda da \mathbb{R}^2 as operações de soma e escalar, formando um espaço vetorial por si só.

Passo 3

Verificar se o vetor zero pertence a S.
  • Tomando x_{2}=0 temos x_{1}=3\cdot 0=0, logo
\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}\in S.
  • Portanto S é não vazio e contém o vetor zero, cumprindo a primeira condição.]

Passo 4

Verificar fechamento por soma (passo a passo explícito).
  • Seja u=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}\in S e v=\begin{pmatrix}y_{1}\\[4pt]y_{2}\end{pmatrix}\in S. Pelas hipóteses temos x_{1}=3x_{2} e y_{1}=3y_{2}.
  • Calcule a soma:
u+v=\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\[4pt]x_{2}+y_{2}\end{pmatrix}.
  • Substituindo x_{1}=3x_{2} e y_{1}=3y_{2} obtemos
x_{1}+y_{1}=3x_{2}+3y_{2}=3(x_{2}+y_{2}).
  • Assim a primeira coordenada de u+v é exatamente 3 vezes a segunda coordenada de u+v. Portanto
u+v\in S.
  • Conclusão: S é fechado por soma.]

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar (passo a passo).
  • Seja u=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}\in S com x_{1}=3x_{2} e seja \alpha\in\mathbb{R}.
  • Calcule \alpha u:
\alpha u=\begin{pmatrix}\alpha x_{1}\\[4pt]\alpha x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha\cdot(3x_{2})\\[4pt]\alpha x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3(\alpha x_{2})\\[4pt]\alpha x_{2}\end{pmatrix}.
  • A primeira coordenada de \alpha u é 3 vezes a segunda coordenada de \alpha u, logo \alpha u\in S.
  • Conclusão: S é fechado por multiplicação escalar.]

Passo 6

Conclusão combinada e interpretação útil.
  • Já mostramos que S contém o zero, é fechado por soma e por multiplicação escalar. Portanto S é um subespaço de \mathbb{R}^{2}.
  • Representação paramétrica (aula prática): colocando x_{2}=t\in\mathbb{R} obtemos
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3t\\[4pt]t\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Isso mostra que S é exatamente o conjunto \{\,t\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}:t\in\mathbb{R}\,\}, ou seja,
S=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\},
um subespaço unidimensional (uma reta passando pela origem).]

Resposta

Sim. S é subespaço de \mathbb{R}^{2} e S=\{\,t\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}:t\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.]

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