Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se ele é um subespaço do \mathbb{R}^{3}. Justifique sua resposta.
\left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right) ; x_{1}+x_{3}=1\right\}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto
\left\{\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}\;;\;x_{1}+x_{3}=1\right\}
é um subespaço de \mathbb{R}^{3}. As informações dadas são:
  • O universo considerado é \mathbb{R}^{3}.
  • O subconjunto é formado por todos os vetores coluna \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} que satisfazem a equação x_{1}+x_{3}=1.
  • A pergunta é: esse conjunto é um subespaço de \mathbb{R}^{3}? (responder sim ou não e justificar.)]

Passo 2

Definição útil (explicada de forma simples): um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades essenciais:
  1. Contém o vetor zero \mathbf{0}=(0,0,0).
  2. É fechado sob soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W.
Por que essa definição? Um subespaço é um conjunto que, considerado com as mesmas operações de soma e multiplicação por escalares de \mathbb{R}^3, forma ele próprio um espaço vetorial. Essas três propriedades são um teste prático: faltar qualquer uma delas já derruba a possibilidade de ser subespaço.

Passo 3

Aplicando o primeiro teste (vetor zero). Verificar se \mathbf{0}=(0,0,0) pertence ao conjunto. Para \mathbf{0} temos
x_{1}+x_{3}=0+0=0.
Mas a condição do conjunto exige x_{1}+x_{3}=1. Como 0\neq1, concluímos que \mathbf{0}\notin conjunto. Pela definição do Passo 2, se o vetor zero não pertence ao conjunto, então o conjunto não é subespaço vetorial. Isso já basta para responder a pergunta.

Passo 4

Para reforçar a ideia com um contraexemplo simples (mostrando falha em outra propriedade), escolha um vetor que realmente esteja no conjunto: tome
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Verifica-se que v pertence ao conjunto porque 1+0=1. Agora multiplique por um escalar, por exemplo \alpha=2:
2v=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para 2v temos x_{1}+x_{3}=2+0=2, que não é igual a 1. Logo 2v\notin conjunto. Isso mostra que o conjunto também não é fechado por multiplicação por escalar. Novamente, falha em uma propriedade suficiente para rejeitar a hipótese de subespaço.]

Passo 5

Intuição geométrica e comentário didático: a equação x_{1}+x_{3}=1 descreve um plano afim em \mathbb{R}^{3} que é paralelo ao plano linear dado por x_{1}+x_{3}=0 mas deslocado (transladado) de modo que não passa pela origem. Subespaços precisam passar pela origem; planos que não passam pela origem são affine (planos deslocados), não subespaços vetoriais. Se a equação fosse x_{1}+x_{3}=0, aí sim teríamos um subespaço (é um plano que contém a origem, fechado por soma e por escalares).

Resposta

Não, não é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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