Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se ele é um subespaço do \mathbb{R}^{2}. Justifique sua resposta.
\left\{\binom{x_{1}}{x_{2}} ; x_{1}+x_{2}=0\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\left\{\binom{x_{1}}{x_{2}} \; ;\; x_{1}+x_{2}=0\right\}
e pergunta se S é um subespaço de \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os vetores do conjunto são \binom{x_{1}}{x_{2}} que satisfazem a equação x_{1}+x_{2}=0.
  • A pergunta pede uma afirmação (sim/não) acompanhada de justificativa.

Passo 2

O que significa ser subespaço (explicação didática): um subconjunto V\subseteq\mathbb{R}^2 é subespaço se satisfaz três propriedades:
  1. V contém o vetor zero (não é vazio e tem \binom{0}{0}).
  2. V é fechado sob adição: se u\in V e v\in V então u+v\in V. A operação de soma em \mathbb{R}^2 é
\binom{a}{b}+\binom{c}{d}=\binom{a+c}{b+d}.
  1. V é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in V e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in V. A multiplicação por escalar em \mathbb{R}^2 é
\lambda\binom{a}{b}=\binom{\lambda a}{\lambda b}.
Vou verificar essas três propriedades para S. (Dica prática: muitas vezes conjuntos definidos por uma equação linear homogênea como x_1+x_2=0 são subespaços, mas vamos provar direitinho.)

Passo 3

Verificar que o vetor zero está em S.
Calcule x_{1}+x_{2} para \binom{0}{0}:
0+0=0,
logo \binom{0}{0}\in S. Portanto a propriedade 1 está satisfeita.

Passo 4

Verificar fechamento por adição (passo com contas detalhadas).
Sejam u=\binom{a}{b}\in S e v=\binom{c}{d}\in S. Pelas hipóteses temos
a+b=0\qquad\text{e}\qquad c+d=0.
Então a soma é
u+v=\binom{a+c}{b+d}.
Somando as componentes desse vetor:
(a+c)+(b+d)=(a+b)+(c+d)=0+0=0.
Como a soma das componentes é zero, segue que u+v\in S. Portanto S é fechado sob adição.
(Exemplo numérico rápido para intuir: \binom{2}{-2}\in S e \binom{3}{-3}\in S; somando dá \binom{5}{-5} e 5+(-5)=0, mantém a propriedade.)

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar (passo com contas detalhadas).
Seja u=\binom{a}{b}\in S com a+b=0 e seja \lambda\in\mathbb{R}. Então
\lambda u=\binom{\lambda a}{\lambda b}.
Somando as componentes:
\lambda a+\lambda b=\lambda(a+b)=\lambda\cdot 0=0.
Portanto \lambda u\in S. Assim S é fechado sob multiplicação por escalar.
(Exemplo numérico: 3\cdot\binom{2}{-2}=\binom{6}{-6} e 6+(-6)=0.)

Passo 6

Conclusão a partir das propriedades verificadas: S contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Logo, por definição, S é um subespaço de \mathbb{R}^2.
Passo extra (interpretação geométrica e forma prática para prova): escrevendo x_{1}=t então x_{2}=-t e todo vetor de S pode ser escrito como
\binom{x_{1}}{x_{2}}=\binom{t}{-t}=t\binom{1}{-1}.
Isso mostra que
S=\mathrm{span}\!\left\{\binom{1}{-1}\right\},
ou seja, S é a reta através da origem com direção \binom{1}{-1} — um subespaço unidimensional. Na prova, sempre que vir uma equação linear homogênea (como x_1+x_2=0), dá para usar imediatamente a observação do parâmetro t e concluir que é o span de um vetor.

Resposta

Sim. S é um subespaço de \mathbb{R}^{2}; de fato S=\mathrm{span}\!\left\{\binom{1}{-1}\right\}.

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