Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se ele é um subespaço do
. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pergunta se
é um subespaço de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Os vetores do conjunto são
que satisfazem a equação . - A pergunta pede uma afirmação (sim/não) acompanhada de justificativa.
Passo 2
O que significa ser subespaço (explicação didática): um subconjunto
é subespaço se satisfaz três propriedades:
-
contém o vetor zero (não é vazio e tem ). -
é fechado sob adição: se e então . A operação de soma em é
-
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então . A multiplicação por escalar em é
Vou verificar essas três propriedades para
. (Dica prática: muitas vezes conjuntos definidos por uma equação linear homogênea como
são subespaços, mas vamos provar direitinho.)
Passo 3
Verificar que o vetor zero está em
.
Calcule para
:
Calcule
logo
. Portanto a propriedade 1 está satisfeita.
Passo 4
Verificar fechamento por adição (passo com contas detalhadas).
Sejam e
. Pelas hipóteses temos
Sejam
Então a soma é
Somando as componentes desse vetor:
Como a soma das componentes é zero, segue que
. Portanto
é fechado sob adição.
(Exemplo numérico rápido para intuir:
e
; somando dá
e
, mantém a propriedade.)
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar (passo com contas detalhadas).
Seja com
e seja
. Então
Seja
Somando as componentes:
Portanto
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalar.
(Exemplo numérico:
e
.)
Passo 6
Conclusão a partir das propriedades verificadas:
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Logo, por definição,
é um subespaço de
.
Passo extra (interpretação geométrica e forma prática para prova): escrevendo
então
e todo vetor de
pode ser escrito como
Isso mostra que
ou seja,
é a reta através da origem com direção
— um subespaço unidimensional. Na prova, sempre que vir uma equação linear homogênea (como
), dá para usar imediatamente a observação do parâmetro
e concluir que é o span de um vetor.
Resposta
Sim.
é um subespaço de
; de fato
.