Para cada curva do espaço abaixo, calcule as componentes tangencial aT e normal aN da aceleração no instante indicado. Use as definições:
aT=dd t|v(t)|, aN=raiz|a(t)|^2-aT^2
r(t)=e^t i+2 t j+e^-t k, t=0

Passo 1

O enunciado pede as componentes tangencial aT e normal aN da aceleração para a curva
r(t)=e^t,i+2t,j+e^-t,k
no instante t=0. O conteúdo é cálculo de componentes de aceleração em curvas no espaço, e vamos precisar das derivadas de r(t), das fórmulas
aT=ddt|v(t)|(ou a<ernativamente ;aT=vcdota|v|!), aN=raiz|a(t)|^2-aT^2,

Passo 2

Calculamos primeiro velocidade e aceleração em função de t e avaliamos em t=0.
v(t)=r'(t)=e^t,i+2,j-e^-t,k, a(t)=v'(t)=e^t,i+0,j+e^-t,k
Em t=0:
v(0)=(1,,2,,-1), a(0)=(1,,0,,1)

Passo 3

Para aT usamos
aT=vcdota|v|
Calculando em t=0:
v(0)cdota(0)=1cdot1+2cdot0+(-1)cdot1=0, |v(0)|=raiz1^2+2^2+(-1)^2=raiz6,
logo
aT(0)=0raiz6=0

Passo 4

Para aN usamos
aN=raiz|a|^2-aT^2
Em t=0:
|a(0)|=raiz1^2+0^2+1^2=raiz2,
portanto
aN(0)=raiz(raiz2)^2-0^2=raiz2

Resposta

aT(0)=0, aN(0)=raiz2

Exercícios relacionados