Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
y^prime=x-1+x y-y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = x - 1 + x,y - y
Este é um caso de equação de variáveis separáveis: primeiro vamos simplificar o lado direito e depois separar as variáveis y e x para integrar.

Passo 2

Observamos que no lado direito há um fator comum x-1. Logo,
y' = x - 1 + x,y - y = (x-1) + y,(x-1) = (x-1),(y+1)

Passo 3

Reescrevendo y'=dfracdydx, separamos as variáveis:
dyy+1 = (x-1),dx

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
integral dyy+1 = integral (x-1),dx
No lado esquerdo temos
integral dyy+1 = lnl|y+1r| + C1,
e no direito
integral (x-1),dx = x^22 - x + C2
Combinando as constantes em C=C2 - C1, obtemos
lnl|y+1r| = x^22 - x + C

Passo 5

Elevando exponencialmente, vem
y+1 = K,e^x^22-x,
onde K = e^C é constante arbitrária (podendo ser zero, o que gera a solução constante y=-1). Portanto,
y(x) = K,e^x^22-x - 1

Resposta

y(x) = K,e^x^22-x - 1, KinR

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