Exercício 1. Esboce as regiões de integração e determine o valor de cada uma das integrais iteradas abaixo.
integral duplaR x y^2x^2+1 d A, com R=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1,-3 <= y <= 3;

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integral duplaRx,y^2x^2+1,dA
sobre a região
R=(x,y)inR^2mid 0<= x<=1,;-3<= y<=3
O conteúdo aqui é usar o Teorema de Fubini para escrever a integral dupla como iterada e depois calcular. Precisamos esboçar R (que é um retângulo) e então separar a variável x da y, aproveitando que
x,y^2x^2+1 = xx^2+1;y^2

Passo 2

Esboce R. É o retângulo cujos vértices são
(0,-3), (1,-3), (1,3) e (0,3).
No plano xy, marque a faixa horizontal de x=0 até x=1 e a faixa vertical de y=-3 até y=3.

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
integral duplaRx,y^2x^2+1,dA = integralx=0^1!!integraly=-3^3x,y^2x^2+1,dy,dx = integraly=-3^3!!integralx=0^1x,y^2x^2+1,dx,dy
Para economia de cálculo, vamos integrar primeiro em y, pois x/(x^2+1) se comporta como constante em relação a y.

Passo 4

Calcule a integral interna em y:
integraly=-3^3y^2,dy = 2integral0^3y^2,dy = 2gl[y^33gr]0^3 = 2cdot273 = 18
Logo a integral dupla fica
integral duplaRx,y^2x^2+1,dA = integralx=0^1xx^2+1;l(18r),dx = 18integral0^1xx^2+1,dx

Passo 5

Calcule a integral em x: use a substituição u=x^2+1, daí du=2x,dx, logo
integral0^1xx^2+1,dx = 12integralu=1^21u,du = 12l[ln ur]1^2 = 12ln2
Multiplicando pelo 18 que veio de y, obtemos
18cdot12ln2 = 9ln2

Resposta

integral duplaRx,y^2x^2+1,dA = 9ln2

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