Cada EDO dada tem coeficientes homogêneos. Encontre a solução geral em cada caso;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- A equação está escrita na forma diferencial
com - O objetivo é obter a solução geral
(ou uma solução implícita), válida nas regiões onde a equação faz sentido (por exemplo e evitando pontos onde é singular). - Observação útil que já se pode notar a partir de
e : ambos são homogêneos de grau (porque aparecem como combinações lineares de e com dependente apenas da razão ). A resolução seguirá a técnica padrão para equações com coeficientes homogêneos: usar a substituição .
Passo 2
Transformar a equação para a forma
para ver melhor a estrutura. Dividindo por
e isolando
:
Agora faça a substituição padrão para equações homogêneas: defina
Explique a ideia: a substituição
reduz a dependência em duas variáveis para uma variável
que depende só de
, porque a razão
aparece naturalmente na equação.
Passo 3
Calcule
usando
. Pela regra do produto:
Agora iguale essa expressão à expressão encontrada em termos de
:
pois
e
. Simplificando:
Este passo é mecânico: substitui-se
por
e iguala-se as duas formas de
.
Passo 4
Separar variáveis para integrar. Da equação anterior temos
Ambos os lados estão agora separados: o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
. Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Aqui é importante entender a técnica usada na prova: ao obter uma separação como acima, integrar os dois lados é a próxima etapa direta. O lado direito é elementar e dá
. O lado esquerdo exige avaliar
.
Passo 5
Tratar a integral em
. Observação prática e técnica: a integral
não tem primitiva elementar simples (ou seja, não é expressável em termos finitos das funções elementares usuais como polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos, arctangentes, etc.). Para o propósito de provas de graduação é aceitável deixar a solução em forma implícita, definindo uma função primitiva
por integral ou escrevendo a solução através de uma integral dependente de
.
Definindo
a solução geral pode ser escrita implicitamente como
Interpretação prática: dada uma condição inicial (um ponto
com
e
definido), computa-se
, avalia-se
numericamente (por integração), e obtém-se a constante
. Em uma prova, se não for exigido obter forma fechada, essa forma implícita é suficiente.
Também é importante lembrar restrições de domínio: a solução só vale onde
não muda de sinal atravessando singularidades de
, e sempre
. Em particular, evitar valores de
em que
é singular (como
).
Passo 6
Resumo didático do método (passo a passo que vale na prova):
- Escreva a equação na forma
quando possível. Isso indica homogeneidade. - Faça
e calcule . - Substitua e isole
para obter uma equação separável da forma . - Integre ambos os lados. Se a integral em
não for elementar, deixe-a como integral definida/indefinida e escreva a solução de forma implícita. - Lembre-se das restrições de domínio (valores proibidos de
e de onde é singular).