Cada EDO dada tem coeficientes homogêneos. Encontre a solução geral em cada caso;
(x \tan (y / x)-y) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
(x\tan(y/x)-y)\,dx - x\,dy = 0.
Informações dadas:
  • A equação está escrita na forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y)=x\tan\!\bigl(y/x\bigr)-y,\qquad N(x,y)=-x.
  • O objetivo é obter a solução geral y(x) (ou uma solução implícita), válida nas regiões onde a equação faz sentido (por exemplo x\neq0 e evitando pontos onde \tan é singular).
  • Observação útil que já se pode notar a partir de M e N: ambos são homogêneos de grau 1 (porque aparecem como combinações lineares de x e y com \tan(y/x) dependente apenas da razão y/x). A resolução seguirá a técnica padrão para equações com coeficientes homogêneos: usar a substituição y=ux.

Passo 2

Transformar a equação para a forma dy/dx para ver melhor a estrutura. Dividindo por dx e isolando dy/dx:
\frac{dy}{dx}=\frac{x\tan(y/x)-y}{x}=\tan\!\bigl(y/x\bigr)-\frac{y}{x}.
Agora faça a substituição padrão para equações homogêneas: defina
u=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y=ux.
Explique a ideia: a substituição u=y/x reduz a dependência em duas variáveis para uma variável u que depende só de x, porque a razão y/x aparece naturalmente na equação.

Passo 3

Calcule dy/dx usando y=ux. Pela regra do produto:
\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}.
Agora iguale essa expressão à expressão encontrada em termos de u:
u + x\frac{du}{dx} = \tan u - u,
pois \tan(y/x)=\tan u e y/x=u. Simplificando:
x\frac{du}{dx} = \tan u - 2u.
Este passo é mecânico: substitui-se y por ux e iguala-se as duas formas de dy/dx.

Passo 4

Separar variáveis para integrar. Da equação anterior temos
\frac{du}{\tan u - 2u} = \frac{dx}{x}.
Ambos os lados estão agora separados: o lado esquerdo depende só de u e o direito só de x. Integrando ambos os lados:
\int \frac{du}{\tan u - 2u} = \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.
Aqui é importante entender a técnica usada na prova: ao obter uma separação como acima, integrar os dois lados é a próxima etapa direta. O lado direito é elementar e dá \ln|x|. O lado esquerdo exige avaliar \displaystyle\int \frac{du}{\tan u - 2u}.

Passo 5

Tratar a integral em u. Observação prática e técnica: a integral
\int \frac{du}{\tan u - 2u}
não tem primitiva elementar simples (ou seja, não é expressável em termos finitos das funções elementares usuais como polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos, arctangentes, etc.). Para o propósito de provas de graduação é aceitável deixar a solução em forma implícita, definindo uma função primitiva F por integral ou escrevendo a solução através de uma integral dependente de y/x.
Definindo
F(v)=\int^{v}\frac{dt}{\tan t - 2t},
a solução geral pode ser escrita implicitamente como
F\!\bigl(y/x\bigr)=\ln|x| + C.
Interpretação prática: dada uma condição inicial (um ponto (x_0,y_0) com x_0\neq0 e \tan(y_0/x_0) definido), computa-se u_0=y_0/x_0, avalia-se F(u_0) numericamente (por integração), e obtém-se a constante C=F(u_0)-\ln|x_0|. Em uma prova, se não for exigido obter forma fechada, essa forma implícita é suficiente.
Também é importante lembrar restrições de domínio: a solução só vale onde \tan u-2u não muda de sinal atravessando singularidades de \tan, e sempre x\neq0. Em particular, evitar valores de u em que \tan u é singular (como u=\pi/2+k\pi).

Passo 6

Resumo didático do método (passo a passo que vale na prova):
  1. Escreva a equação na forma dy/dx = f(y/x) quando possível. Isso indica homogeneidade.
  2. Faça u=y/x e calcule dy/dx = u + x\,du/dx.
  3. Substitua e isole du/dx para obter uma equação separável da forma g(u)\,du = h(x)\,dx.
  4. Integre ambos os lados. Se a integral em u não for elementar, deixe-a como integral definida/indefinida e escreva a solução de forma implícita.
  5. Lembre-se das restrições de domínio (valores proibidos de x e de u onde \tan é singular).

Resposta

\int^{\,y/x}\frac{dt}{\tan t - 2t}=\ln|x|+C

Exercícios relacionados