Cada EDO dada tem coeficientes homogêneos. Encontre a solução geral em cada caso;
\left(x^{2} y+2 x y^{2}\right) d x-\left(2 y^{3}-x y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2} y+2 x y^{2}\right)\,dx-\left(2 y^{3}-x y^{2}\right)\,dy=0.
O que se pede: encontrar a solução geral da EDO (ou seja, uma família de curvas implícitas que satisfazem a equação).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Podemos escrever a equação na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y)=x^{2}y+2xy^{2},\qquad N(x,y)=x y^{2}-2y^{3}.
  • Ambos M e N são homogêneos do mesmo grau (cada termo tem grau 3 em x,y):
    • x^{2}y e 2xy^{2} têm grau 3;
    • xy^{2} e 2y^{3} têm grau 3.
  • Quando M e N são homogêneos do mesmo grau, a substituição padrão é \displaystyle y=vx (ou, alternativamente, x=uy). Essa substituição costuma reduzir para uma equação separável em v e x.

Passo 2

Vou aplicar a substituição \displaystyle y=vx. Primeiro escrevo as expressões necessárias para substituir:
y=vx,\qquad dy=v\,dx + x\,dv.
Também calculo as potências de y que serão usadas:
y^{2}=v^{2}x^{2},\qquad y^{3}=v^{3}x^{3}.

Passo 3

Substituo y=vx e dy=v\,dx+x\,dv na equação original escrita como M\,dx+N\,dy=0:
\bigl(x^{2}y+2xy^{2}\bigr)\,dx + \bigl(x y^{2}-2y^{3}\bigr)\,dy = 0.
Substituindo y e dy:
\bigl(x^{3}(v+2v^{2})\bigr)\,dx + \bigl(x^{3}(v^{2}-2v^{3})\bigr)\,(v\,dx + x\,dv)=0.

Passo 4

Divido por x^{3} (assumindo x\neq0, o caso x=0 pode ser verificado separadamente) para simplificar:
(v+2v^{2})\,dx + (v^{2}-2v^{3})(v\,dx + x\,dv)=0.
Agora expando os produtos e agrupo os termos em dx e em dv:
\bigl(v+2v^{2} + v(v^{2}-2v^{3})\bigr)\,dx + x\,(v^{2}-2v^{3})\,dv=0.
Calculo o coeficiente de dx explicitamente:
v+2v^{2} + v(v^{2}-2v^{3}) = v + 2v^{2} + v^{3} - 2v^{4}.
Logo a equação fica
\bigl(v + 2v^{2} + v^{3} - 2v^{4}\bigr)\,dx + x\,(v^{2}-2v^{3})\,dv = 0.

Passo 5

Rearranjo para obter uma equação separável entre x e v. Passando o termo em dx para o lado direito e dividindo por x e pelo polinômio adequado:
\frac{dx}{x} = -\,\frac{v^{2}-2v^{3}}{\,v + 2v^{2} + v^{3} - 2v^{4}\,}\,dv.
Simplifico o quociente fatorando v onde possível:
\frac{v^{2}-2v^{3}}{v + 2v^{2} + v^{3} - 2v^{4}} = \frac{v^{2}(1-2v)}{v(1+2v+v^{2}-2v^{3})} = \frac{v(1-2v)}{1+2v+v^{2}-2v^{3}}.
Portanto a equação separada fica
\frac{dx}{x} = -\frac{v(1-2v)}{1+2v+v^{2}-2v^{3}}\,dv.

Passo 6

Integro ambos os lados. À esquerda é direto; à direita temos uma integral racional em v:
\int \frac{dx}{x} = -\int \frac{v(1-2v)}{1+2v+v^{2}-2v^{3}}\,dv.
A integral do lado esquerdo é \ln|x|+ constante. Assim obtemos a solução implícita
\ln|x| = -\int \frac{v(1-2v)}{1+2v+v^{2}-2v^{3}}\,dv + C,
onde v=\dfrac{y}{x}.

Passo 7

Substituo v=\dfrac{y}{x} para escrever a solução em termos de x,y:
\boxed{\displaystyle \ln|x| = -\int \frac{\dfrac{y}{x}\!\left(1-2\dfrac{y}{x}\right)}{\,1+2\dfrac{y}{x}+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}-2\left(\dfrac{y}{x}\right)^{3}\,}\,d\!\left(\dfrac{y}{x}\right) + C.}
Esta é a forma implícita da solução geral. A integral do lado direito é uma integral racional em v que pode ser calculada explicitamente por decomposição em frações parciais (produzindo logaritmos de expressões polinomiais em v); o passo principal para resolver a EDO foi a redução para uma integral em v=y/x e separação das variáveis.
Dica prática para a prova: ao ver M e N homogêneos do mesmo grau, faça y=vx (ou x=uy) sem hesitar — isso transforma a EDO numa equação separável em x e v, e a integral resultante é uma integral racional em v que você resolve por frações parciais.

Resposta

\displaystyle \ln|x| = -\int \frac{v(1-2v)}{1+2v+v^{2}-2v^{3}}\,dv + C,\quad \text{com } v=\dfrac{y}{x}.

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