Cada EDO dada tem coeficientes homogêneos. Encontre a solução geral em cada caso;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral da EDO (ou seja, uma família de curvas implícitas que satisfazem a equação).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Podemos escrever a equação na forma
com
- Ambos
e são homogêneos do mesmo grau (cada termo tem grau em ): -
e têm grau ; -
e têm grau .
-
- Quando
e são homogêneos do mesmo grau, a substituição padrão é (ou, alternativamente, ). Essa substituição costuma reduzir para uma equação separável em e .
Passo 2
Vou aplicar a substituição
. Primeiro escrevo as expressões necessárias para substituir:
Também calculo as potências de
que serão usadas:
Passo 3
Substituo
e
na equação original escrita como
:
Substituindo
e
:
Passo 4
Divido por
(assumindo
, o caso
pode ser verificado separadamente) para simplificar:
Agora expando os produtos e agrupo os termos em
e em
:
Calculo o coeficiente de
explicitamente:
Logo a equação fica
Passo 5
Rearranjo para obter uma equação separável entre
e
. Passando o termo em
para o lado direito e dividindo por
e pelo polinômio adequado:
Simplifico o quociente fatorando
onde possível:
Portanto a equação separada fica
Passo 6
Integro ambos os lados. À esquerda é direto; à direita temos uma integral racional em
:
A integral do lado esquerdo é
constante. Assim obtemos a solução implícita
onde
.
Passo 7
Substituo
para escrever a solução em termos de
:
Esta é a forma implícita da solução geral. A integral do lado direito é uma integral racional em
que pode ser calculada explicitamente por decomposição em frações parciais (produzindo logaritmos de expressões polinomiais em
); o passo principal para resolver a EDO foi a redução para uma integral em
e separação das variáveis.
Dica prática para a prova: ao ver
e
homogêneos do mesmo grau, faça
(ou
) sem hesitar — isso transforma a EDO numa equação separável em
e
, e a integral resultante é uma integral racional em
que você resolve por frações parciais.