Cada EDO dada tem coeficientes homogêneos. Encontre a solução geral em cada caso;
\left(x \tan \left(y^{2} / x^{2}\right)-2 y^{2}\right) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial:
\left(x \tan\!\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)-2 y^{2}\right)\,dx+2 x y\,dy=0.
O que se pede: encontrar a solução geral dessa EDO (ou seja, a família de integrais gerais que satisfazem a equação).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O termo trigonométrico aparece com o argumento \dfrac{y^{2}}{x^{2}}.
  • Os coeficientes multiplicando dx e dy são: M(x,y)=x \tan\!\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)-2y^{2},\qquad N(x,y)=2xy.

Passo 2

Motivação da substituição e cálculo de du.
Observação prática: o argumento \dfrac{y^{2}}{x^{2}} sugere tomar como nova variável
u=\frac{y^{2}}{x^{2}}.
Vamos calcular du em termos de dx e dy. Escrevendo u=y^{2}x^{-2} e derivando,
du = d\big(y^{2}x^{-2}\big)=2y\,dy\cdot x^{-2} + y^{2}\cdot(-2)x^{-3}\,dx.
Reorganizando,
du = \frac{2y\,dy}{x^{2}} - \frac{2y^{2}\,dx}{x^{3}}.
Multiplicando por x^{3} para eliminar denominadores,
x^{3}du = 2xy\,dy - 2y^{2}\,dx.

Passo 3

Reconhecer e substituir a combinação presente na EDO.
Na EDO original o termo -2y^{2}\,dx+2xy\,dy aparece exatamente. Reescrevendo a equação original como
x \tan\!\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)\,dx +\big(-2y^{2}\,dx+2xy\,dy\big)=0,
e usando a relação obtida no passo anterior, temos
x \tan(u)\,dx + x^{3}du = 0.

Passo 4

Separação de variáveis e integração.
Colocando a equação em forma conveniente:
x^{3}du + x \tan(u)\,dx = 0.
Dividindo por x^{3} (assumindo x\neq0),
du + \frac{\tan(u)}{x^{2}}\,dx = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{du}{dx} = -\frac{\tan(u)}{x^{2}}.
Isto é uma equação separável. Separe as variáveis:
\frac{du}{\tan(u)} = -\frac{dx}{x^{2}}.
Integrando ambos os lados:
  • A integral da esquerda: \displaystyle\int \frac{du}{\tan(u)}=\int \cot(u)\,du=\ln\big|\sin(u)\big|+C_{1}, porque \dfrac{d}{du}\sin(u)=\cos(u) e \cot(u)=\dfrac{\cos u}{\sin u}.
  • A integral da direita: \displaystyle\int -\frac{dx}{x^{2}}=\int -x^{-2}\,dx = x^{-1}+C_{2}=\frac{1}{x}+C_{2}.
Juntando (absorvendo constantes em uma só constante C):
\ln\big|\sin(u)\big|=\frac{1}{x}+C.

Passo 5

Voltar à variável original e escrever a solução geral.
Lembrando que u=\dfrac{y^{2}}{x^{2}}, substitui-se na solução obtida:
\ln\left|\sin\!\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)\right|=\frac{1}{x}+C.
Exponenciando e reunindo a constante multiplicativa, obtemos a forma implícita simples
\sin\!\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)=C_{1}\,e^{1/x},
onde C_{1}= \pm e^{C} é constante arbitrária (real).

Resposta

\sin\!\left(\dfrac{y^{2}}{x^{2}}\right)=C\,e^{1/x}

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