Para cada uma das EDOs abaixo, identifique claramente o método de resolução escolhido (Variáveis Separáveis, Linear, Exata, Homogênea ou Bernoulli) e resolva. A escolha do método correto é parte da avaliação.
Passo 1
O enunciado pede: para cada uma das EDOs fornecidas, identificar o método correto entre (Variáveis Separáveis, Linear, Exata, Homogênea ou Bernoulli) e resolvê‑la. Ou seja, para cada equação deve aparecer (i) a identificação do método e (ii) a solução completa passo a passo.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma EDO foi enviada. Portanto não há equações concretas para eu identificar e resolver.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma EDO foi enviada. Portanto não há equações concretas para eu identificar e resolver.
Passo 2
Por que isso impede resolver as EDOs: para escolher o método e resolver uma EDO preciso da forma explícita da equação (por ex.
, ou
, ou
, etc.). Sem a forma da equação não dá para identificar se é separável, linear, exata, homogênea ou Bernoulli, nem calcular integrais específicas. Logo não é possível produzir as soluções pedidas para “cada uma” porque as equações não existem no texto que recebi.
Passo 3
O que devo receber para poder resolver corretamente (formato recomendado): cada EDO escrita em LaTeX simples, por exemplo:
-
-
-
-
(caso homogênea) -
(Bernoulli)
Sem perguntar, deixo claro que assim que as EDOs forem enviadas nesse formato eu vou: identificar método, mostrar passo a passo (explicando cada fórmula e substituição) e obter a solução.
Passo 4
Enquanto não vierem as EDOs específicas, vou te dar uma mini‑aula prática e 5 exemplos resolvidos — um para cada método pedido — para você entender como reconhecer e resolver cada caso na prova. Para cada método eu explico (i) como identificar, (ii) a ideia de solução, (iii) passo a passo com um exemplo simples e totalmente resolvido.
Passo 5
Como reconhecer: a EDO pode ser escrita na forma
ou equivalentemente separar os termos em
e
nos dois lados. Ideia: colocar todos os
com
num lado e todos os
com
no outro e integrar.
Exemplo (resolvido): resolver
.
Passo a passo:
- Reescrever para separar:
- Integrar ambos os lados (explico as integrais): a primitiva de
em é porque . A primitiva de em é . Assim
onde
é constante de integração (explico que sempre aparece ao integrar).
3) Isolar :
3) Isolar
Opcionalmente escrevemos
se preferir. Isso é a família de soluções.
Dica prática para prova: sempre verifique se
é solução separada (aqui
não satisfaz a EDO original porque o lado direito seria
mas a manipulação ao dividir por
exclui
; então sempre cheque soluções singulares).
Passo 6
Como reconhecer: equação na forma padrão
Ideia: multiplicar por fator integrante
para transformar o lado esquerdo em derivada de
.
Exemplo (resolvido): resolver
.
Passo a passo:
- Colocar na forma padrão: já está com
e . - Calcular o fator integrante:
- Multiplicar a equação por
:
- Reconhecer que o lado esquerdo é
(explico: pelo produto, e ). Então
- Integrar:
- Isolar
:
Resultado final:
.
Dica prática: identificar
e calcular
com calma; a manipulação é mecânica.
Passo 7
Como reconhecer: uma EDO no formato diferencial total
é exata se
numa região onde
são suaves. Ideia: existe uma função potencial
tal que
e
; então
dá a solução implícita.
Exemplo (resolvido): resolver
.
Passo a passo:
- Identificar
e . - Verificar exatidão:
logo são iguais e a equação é exata.
3) Procurar com
. Integramos
em
:
3) Procurar
onde
é função arbitrária de
(pois ao derivar em
ela some).
4) Impor . Calcular
:
4) Impor
Comparar com
dá
Integrar
:
. (Constante pode ser absorvida depois.)
5) Assim
5) Assim
- Solução implícita dada por
, ou seja
Dica prática: sempre verifique exatidão antes de tentar forçar outras técnicas; caso não seja exata, às vezes existe um fator integrante (mas encontrar fator integrante é tópico extra — peça se quiser que eu explique).
Passo 8
Como reconhecer: a função do lado direito é homogênea de mesmo grau em
, ou seja pode ser escrita como função de
(ou
). Forma típica:
Ideia: fazer a substituição
(logo
) e obter uma EDO em
e
separável ou linear.
Exemplo (resolvido): resolver
Passo a passo:
- Verificar homogeneidade: a razão
é função de porque dividindo numerador e denominador por dá . Então é homogênea de grau 0. - Fazer
. Então . - Substituir:
- Isolar
:
- Escrever separável em
e :
- Integrar: separar em duas frações facilita. Note que
Integrando:
As primitivas são
(porque
). Logo
- Voltar à variável original
substituindo :
Isso pode ser simplificado combinando logaritmos se desejar; está válida como solução implícita.
Dica prática: sempre tente a substituição
se a razão depende apenas de
.
Passo 9
Como reconhecer: equação com potência de
com
. Ideia: dividir por
e fazer mudança
transforma em equação linear em
.
Exemplo (resolvido): resolver
Passo a passo:
- Identificar
, , . - Dividir por
(atenção: checar separadamente):
- Fazer substituição
. Então . Calcular : usando derivada,
Observa-se que
. Substituindo na equação dividida:
- Reescrever na forma linear padrão (multiplicando por
se preferir):
Isto é linear com
,
. Resolver por fator integrante:
Multiplicando:
Integrando:
Então
- Voltar para
usando :
Além disso, checar solução
separadamente: substituindo em equação original dá
falso, então
não é solução aqui.
Dica prática: Bernoulli vira linear por
. Memorize essa substituição.
Passo 10
Resumo prático para a prova (passos rápidos para identificar método):
- Se der para escrever como
→ Variáveis separáveis. - Se estiver na forma
→ Linear. - Se estiver como
e → Exata. - Se
depende apenas de → Homogênea (use ). - Se aparecer
multiplicando e tiver forma com → Bernoulli (use ).
Passo 11
Se quiser, copie e cole aqui as EDOs do seu enunciado exatamente (uma por linha, em LaTeX se possível) e eu as resolvo uma a uma: para cada uma eu vou identificar o método e mostrar uma resolução passo a passo, explicando cada fórmula e cada manipulação para você conseguir reproduzir na prova.
Resposta
Não é possível resolver porque nenhuma EDO foi fornecida; por favor envie as equações para que eu possa identificar o método e resolvê‑las passo a passo.