Para cada uma das EDOs abaixo, identifique claramente o método de resolução escolhido (Variáveis Separáveis, Linear, Exata, Homogênea ou Bernoulli) e resolva. A escolha do método correto é parte da avaliação.

Passo 1

O enunciado pede: para cada uma das EDOs fornecidas, identificar o método correto entre (Variáveis Separáveis, Linear, Exata, Homogênea ou Bernoulli) e resolvê‑la. Ou seja, para cada equação deve aparecer (i) a identificação do método e (ii) a solução completa passo a passo.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma EDO foi enviada. Portanto não há equações concretas para eu identificar e resolver.

Passo 2

Por que isso impede resolver as EDOs: para escolher o método e resolver uma EDO preciso da forma explícita da equação (por ex. y'=x y^2, ou y'+p(x)y=q(x), ou M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, etc.). Sem a forma da equação não dá para identificar se é separável, linear, exata, homogênea ou Bernoulli, nem calcular integrais específicas. Logo não é possível produzir as soluções pedidas para “cada uma” porque as equações não existem no texto que recebi.

Passo 3

O que devo receber para poder resolver corretamente (formato recomendado): cada EDO escrita em LaTeX simples, por exemplo:
  • \dfrac{dy}{dx} = x\,y^2
  • \dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)
  • M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
  • \dfrac{dy}{dx} = f\!\left(\dfrac{y}{x}\right) (caso homogênea)
  • \dfrac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x)\,y^n (Bernoulli)
Sem perguntar, deixo claro que assim que as EDOs forem enviadas nesse formato eu vou: identificar método, mostrar passo a passo (explicando cada fórmula e substituição) e obter a solução.

Passo 4

Enquanto não vierem as EDOs específicas, vou te dar uma mini‑aula prática e 5 exemplos resolvidos — um para cada método pedido — para você entender como reconhecer e resolver cada caso na prova. Para cada método eu explico (i) como identificar, (ii) a ideia de solução, (iii) passo a passo com um exemplo simples e totalmente resolvido.

Passo 5

Como reconhecer: a EDO pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y),
ou equivalentemente separar os termos em x e y nos dois lados. Ideia: colocar todos os y com dy num lado e todos os x com dx no outro e integrar.
Exemplo (resolvido): resolver \dfrac{dy}{dx}=x\,y^{2}.
Passo a passo:
  1. Reescrever para separar:
\frac{dy}{y^{2}}=x\,dx.
  1. Integrar ambos os lados (explico as integrais): a primitiva de y^{-2} em y é -y^{-1} porque \dfrac{d}{dy}(-y^{-1})=y^{-2}. A primitiva de x em x é x^{2}/2. Assim
\int \frac{dy}{y^{2}}=\int x\,dx \quad\Rightarrow\quad -\,\frac{1}{y}=\frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é constante de integração (explico que sempre aparece ao integrar).
3) Isolar y:
\frac{1}{y}=-\frac{x^{2}}{2}-C \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{-\,\dfrac{x^{2}}{2}-C}.
Opcionalmente escrevemos C_1=-C se preferir. Isso é a família de soluções.
Dica prática para prova: sempre verifique se y=0 é solução separada (aqui y\equiv0 não satisfaz a EDO original porque o lado direito seria 0 mas a manipulação ao dividir por y^2 exclui y=0; então sempre cheque soluções singulares).

Passo 6

Como reconhecer: equação na forma padrão
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x).
Ideia: multiplicar por fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx} para transformar o lado esquerdo em derivada de \mu(x)y.
Exemplo (resolvido): resolver \dfrac{dy}{dx}-2y=e^{x}.
Passo a passo:
  1. Colocar na forma padrão: já está com p(x)=-2 e q(x)=e^{x}.
  2. Calcular o fator integrante:
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int -2\,dx}=e^{-2x}.
  1. Multiplicar a equação por \mu(x):
e^{-2x}\frac{dy}{dx}-2e^{-2x}y=e^{-2x}e^{x}=e^{-x}.
  1. Reconhecer que o lado esquerdo é \dfrac{d}{dx}\big(e^{-2x}y\big) (explico: pelo produto, \dfrac{d}{dx}(\mu y)=\mu y'+\mu' y e \mu'=p\mu). Então
\frac{d}{dx}\big(e^{-2x}y\big)=e^{-x}.
  1. Integrar:
e^{-2x}y=\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}+C.
  1. Isolar y:
y=e^{2x}\big(-e^{-x}+C\big) = -e^{x}+C e^{2x}.
Resultado final: y(x)=-e^{x}+C e^{2x}.
Dica prática: identificar p(x) e calcular \mu com calma; a manipulação é mecânica.

Passo 7

Como reconhecer: uma EDO no formato diferencial total
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} numa região onde M,N são suaves. Ideia: existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N; então \Phi(x,y)=C dá a solução implícita.
Exemplo (resolvido): resolver (2xy+3)\,dx+(x^{2}-y)\,dy=0.
Passo a passo:
  1. Identificar M(x,y)=2xy+3 e N(x,y)=x^{2}-y.
  2. Verificar exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y}=2x,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x,
logo são iguais e a equação é exata.
3) Procurar \Phi(x,y) com \Phi_x=M. Integramos M em x:
\Phi(x,y)=\int (2xy+3)\,dx = x^{2}y+3x + h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y (pois ao derivar em x ela some).
4) Impor \Phi_y=N. Calcular \Phi_y:
\Phi_y = x^{2}+h'(y).
Comparar com N=x^{2}-y
x^{2}+h'(y)=x^{2}-y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=-y.
Integrar h'(y): h(y)=-\dfrac{y^{2}}{2}+C. (Constante pode ser absorvida depois.)
5) Assim
\Phi(x,y)=x^{2}y+3x -\frac{y^{2}}{2}.
  1. Solução implícita dada por \Phi(x,y)=C, ou seja
x^{2}y+3x-\frac{y^{2}}{2}=C.
Dica prática: sempre verifique exatidão antes de tentar forçar outras técnicas; caso não seja exata, às vezes existe um fator integrante (mas encontrar fator integrante é tópico extra — peça se quiser que eu explique).

Passo 8

Como reconhecer: a função do lado direito é homogênea de mesmo grau em x,y, ou seja pode ser escrita como função de y/x (ou x/y). Forma típica:
\frac{dy}{dx}=F\!\left(\frac{y}{x}\right).
Ideia: fazer a substituição y=vx (logo dy/dx=v+x\,dv/dx) e obter uma EDO em v e x separável ou linear.
Exemplo (resolvido): resolver
\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}.
Passo a passo:
  1. Verificar homogeneidade: a razão (x+y)/(x-y) é função de y/x porque dividindo numerador e denominador por x (1+y/x)/(1-y/x). Então é homogênea de grau 0.
  2. Fazer y=vx. Então dy/dx=v+x\,dv/dx.
  3. Substituir:
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v}{1-v}.
  1. Isolar dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v}{1-v}-v = \frac{1+v - v(1-v)}{1-v} = \frac{1+v - v + v^{2}}{1-v} = \frac{1+v^{2}}{1-v}.
  1. Escrever separável em v e x:
\frac{1-v}{1+v^{2}}\,dv=\frac{dx}{x}.
  1. Integrar: separar em duas frações facilita. Note que
\frac{1-v}{1+v^{2}} = \frac{1}{1+v^{2}} - \frac{v}{1+v^{2}}.
Integrando:
\int \left(\frac{1}{1+v^{2}} - \frac{v}{1+v^{2}}\right)dv = \int \frac{dx}{x}.
As primitivas são \arctan v - \tfrac{1}{2}\ln(1+v^{2}) (porque \int v/(1+v^{2})\,dv = \tfrac{1}{2}\ln(1+v^{2})). Logo
\arctan v - \frac{1}{2}\ln(1+v^{2})=\ln|x|+C.
  1. Voltar à variável original y=vx substituindo v=y/x:
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2}\ln\!\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)=\ln|x|+C.
Isso pode ser simplificado combinando logaritmos se desejar; está válida como solução implícita.
Dica prática: sempre tente a substituição y=vx se a razão depende apenas de y/x.

Passo 9

Como reconhecer: equação com potência de y
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x)\,y^{n},
com n\neq 0,1. Ideia: dividir por y^{n} e fazer mudança z=y^{1-n} transforma em equação linear em z.
Exemplo (resolvido): resolver
\frac{dy}{dx}+y=y^{2}.
Passo a passo:
  1. Identificar p(x)=1, q(x)=1, n=2.
  2. Dividir por y^{2} (atenção: checar y\neq0 separadamente):
y^{-2}\frac{dy}{dx}+y^{-1}=1.
  1. Fazer substituição z=y^{1-n}=y^{1-2}=y^{-1}. Então z=y^{-1}. Calcular dz/dx: usando derivada,
\frac{dz}{dx} = -y^{-2}\frac{dy}{dx}.
Observa-se que y^{-2}\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{dz}{dx}. Substituindo na equação dividida:
-\,\frac{dz}{dx} + z = 1.
  1. Reescrever na forma linear padrão (multiplicando por -1 se preferir):
\frac{dz}{dx} - z = -1.
Isto é linear com p(x)=-1, q(x)=-1. Resolver por fator integrante:
\mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Multiplicando:
e^{-x}\frac{dz}{dx}-e^{-x}z = -e^{-x} \quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dx}\big(e^{-x}z\big)=-e^{-x}.
Integrando:
e^{-x}z=\int -e^{-x}\,dx = e^{-x}+C.
Então
z=1+Ce^{x}.
  1. Voltar para y usando z=y^{-1}:
\frac{1}{y}=1+Ce^{x} \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{1+Ce^{x}}.
Além disso, checar solução y\equiv0 separadamente: substituindo em equação original dá 0+0=0 falso, então y\equiv0 não é solução aqui.
Dica prática: Bernoulli vira linear por z=y^{1-n}. Memorize essa substituição.

Passo 10

Resumo prático para a prova (passos rápidos para identificar método):
  • Se der para escrever como g(x)h(y) → Variáveis separáveis.
  • Se estiver na forma y'+p(x)y=q(x) → Linear.
  • Se estiver como M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 e \partial M/\partial y=\partial N/\partial x → Exata.
  • Se f(x,y) depende apenas de y/x → Homogênea (use y=vx).
  • Se aparecer y^{n} multiplicando q(x) e tiver forma y'+p(x)y=q(x)y^{n} com n\neq0,1 → Bernoulli (use z=y^{1-n}).

Passo 11

Se quiser, copie e cole aqui as EDOs do seu enunciado exatamente (uma por linha, em LaTeX se possível) e eu as resolvo uma a uma: para cada uma eu vou identificar o método e mostrar uma resolução passo a passo, explicando cada fórmula e cada manipulação para você conseguir reproduzir na prova.

Resposta

Não é possível resolver porque nenhuma EDO foi fornecida; por favor envie as equações para que eu possa identificar o método e resolvê‑las passo a passo.

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