[2,5 pts.] 5) Calcule o centro de massa \mathrm{CM}=(\langle x\rangle,\langle y\rangle,\langle z\rangle) do hemisfério homogêneo (densidade constante) x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, z \geq 0, ôco em x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \leq 1. Justifique porque <x>=<y>=0.
\begin{gathered} x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 z+x=1 \\\ \rho^{2}=2 z \\\ \rho^{2}=2 \varphi \cos \varphi \\\ \rho=2 \cos \varphi \end{gathered}
2 \cos ^{2} a=1+\cos (2 a) . \quad 2 \operatorname{sen}^{2} a=1-\cos (2 a)

Passo 1

O problema pede o centro de massa \mathrm{CM}=(\langle x\rangle,\langle y\rangle,\langle z\rangle) do corpo homogêneo obtido a partir do hemisfério sólido
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4,\qquad z\ge 0,
do qual foi removida (ôco) a bola
x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\le 1.
Informações relevantes dadas:
  • O hemisfério tem raio \;R=2\; e está centrado em (0,0,0) com a face plana no plano \;z=0\;.
  • A bola removida tem raio \;r=1\; e centro em (0,0,1).
  • A densidade é constante (homogênea), chamar essa densidade de \rho_0.
    O enunciado também pede que se justifique por que \langle x\rangle=\langle y\rangle=0.
    A resolução começará a seguir.

Passo 2

Justificativa de \langle x\rangle=\langle y\rangle=0 por simetria (explicação didática).
  • A figura (o hemisfério com a bola centralizada no eixo z) é invariante por rotações em torno do eixo z. Isso significa que para todo ponto (x,y,z) do corpo, o ponto (-x,y,z) também pertence ao corpo (reflexão em yz) e o ponto (x,-y,z) também pertence (reflexão em xz).
  • Para densidade constante, a contribuição ao momento em x de um par de pontos simétricos (x,y,z) e (-x,y,z) se cancela: x + (-x)=0. O mesmo vale para y.
    Portanto, por simetria, tem-se imediatamente
\langle x\rangle = 0,\qquad \langle y\rangle = 0.

Passo 3

Estratégia para \langle z\rangle e princípio de superposição (didática).
  • Por linearidade das integrais de massa, o corpo final é a diferença entre o hemisfério sólido (chamar de corpo A) e a bola inteira removida (corpo B). Com densidade constante \rho_0, o momento total em z é
M_z=\rho_0\big(V_A\langle z\rangle_A - V_B\langle z\rangle_B\big),
onde V_A,V_B são os volumes e \langle z\rangle_A,\langle z\rangle_B os centróides em z de A e B. A massa total é
M=\rho_0\big(V_A - V_B\big).
Logo
\langle z\rangle = \frac{M_z}{M}=\frac{V_A\langle z\rangle_A - V_B\langle z\rangle_B}{V_A - V_B}.
  • Portanto precisamos de V_A,\; \langle z\rangle_A para o hemisfério de raio R=2 e de V_B,\; \langle z\rangle_B para a bola de raio r=1.

Passo 4

Cálculo do volume da esfera e do hemisfério (revisão e integração rápida).
  • Volume de uma esfera de raio a é conhecido:
V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi a^{3}.
Explicação curta: pode-se obter por integração em coordenadas esféricas com dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Para a bola removida (esfera sólida) com r=1 vale
V_B=\frac{4}{3}\pi (1)^{3}=\frac{4}{3}\pi.
  • Para o hemisfério de raio R=2 o volume é metade do da esfera de raio 2:
V_A=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi (2)^{3}=\frac{2}{3}\pi (2)^{3}=\frac{16}{3}\pi.

Passo 5

Cálculo do centróide em z do pequeno sólido (bola removida).
  • A bola sólida centrada em (0,0,1) tem centróide simples: é o centro geométrico da bola, portanto
\langle z\rangle_B = 1.
Sem necessidade de integrar: por simetria da esfera o centróide coincide com seu centro.

Passo 6

Cálculo do centróide em z do hemisfério sólido por integração em coordenadas esféricas (aula prática).
Queremos
\langle z\rangle_A=\frac{1}{V_A}\iiint_{A} z\,dV.
Usar coordenadas esféricas centradas em (0,0,0):
z=\rho\cos\varphi,\qquad dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Os limites para o hemisfério z\ge 0 são \theta\in[0,2\pi], \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}], \rho\in[0,R] com R=2. Então
\iiint_{A} z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!d\theta \int_{0}^{\pi/2}\!\!d\varphi \int_{0}^{R}\!(\rho\cos\varphi)\,\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho.
Separar integrais:
\iiint_{A} z\,dV = \left(\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\right) \left(\int_{0}^{\pi/2}\!\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\right) \left(\int_{0}^{R}\!\rho^{3}\,d\rho\right).
Calcule cada parte:
\int_{0}^{2\pi}\!d\theta = 2\pi,
\int_{0}^{\pi/2}\!\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\!\sin(2\varphi)\,d\varphi = \frac{1}{2}\Big[-\frac{1}{2}\cos(2\varphi)\Big]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\big(1-(-1)\big)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 2=\frac{1}{2},
ou mais direto: \int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi=\tfrac{1}{2}. E
\int_{0}^{R}\rho^{3}\,d\rho=\frac{R^{4}}{4}.
Portanto
\iiint_{A} z\,dV = 2\pi\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{R^{4}}{4} = \pi\frac{R^{4}}{4}.
O volume V_A do hemisfério é \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{4}{3}\pi R^{3}=\tfrac{2}{3}\pi R^{3}. Assim
\langle z\rangle_A=\frac{\pi\frac{R^{4}}{4}}{\frac{2}{3}\pi R^{3}}=\frac{\frac{R^{4}}{4}}{\frac{2}{3}R^{3}}=\frac{R}{4}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3R}{8}.
  • Resultado geral: o centróide em z de um hemisfério sólido de raio R é
\langle z\rangle_A=\frac{3R}{8}.
  • Substituindo R=2 obtemos
\langle z\rangle_A=\frac{3\cdot 2}{8}=\frac{3}{4}.

Passo 7

Aplicar a fórmula de superposição e calcular \langle z\rangle final.
  • Relembrando:
\langle z\rangle = \frac{V_A\langle z\rangle_A - V_B\langle z\rangle_B}{V_A - V_B}.
Substituir os valores calculados:
V_A=\frac{16}{3}\pi,\qquad \langle z\rangle_A=\frac{3}{4},
V_B=\frac{4}{3}\pi,\qquad \langle z\rangle_B=1.
Calcule o numerador:
V_A\langle z\rangle_A - V_B\langle z\rangle_B = \frac{16}{3}\pi\cdot\frac{3}{4} - \frac{4}{3}\pi\cdot 1 = \left(\frac{16}{3}\cdot\frac{3}{4}-\frac{4}{3}\right)\pi = \left(4-\frac{4}{3}\right)\pi = \frac{8}{3}\pi.
Calcule o denominador:
V_A - V_B = \left(\frac{16}{3}-\frac{4}{3}\right)\pi = \frac{12}{3}\pi = 4\pi.
Logo
\langle z\rangle = \frac{\tfrac{8}{3}\pi}{4\pi} = \frac{8}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{3}.

Resposta

\langle x\rangle=0
\langle y\rangle=0
\langle z\rangle=\dfrac{2}{3}

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