[2,5 pts.] 5) Calcule o centro de massa
do hemisfério homogêneo (densidade constante)
, ôco em
. Justifique porque
.
Passo 1
O problema pede o centro de massa
do corpo homogêneo obtido a partir do hemisfério sólido
do qual foi removida (ôco) a bola
Informações relevantes dadas:
- O hemisfério tem raio
e está centrado em com a face plana no plano . - A bola removida tem raio
e centro em . - A densidade é constante (homogênea), chamar essa densidade de
.
O enunciado também pede que se justifique por que.
A resolução começará a seguir.
Passo 2
Justificativa de
por simetria (explicação didática).
- A figura (o hemisfério com a bola centralizada no eixo
) é invariante por rotações em torno do eixo . Isso significa que para todo ponto do corpo, o ponto também pertence ao corpo (reflexão em ) e o ponto também pertence (reflexão em ). - Para densidade constante, a contribuição ao momento em
de um par de pontos simétricos e se cancela: . O mesmo vale para .
Portanto, por simetria, tem-se imediatamente
Passo 3
Estratégia para
e princípio de superposição (didática).
- Por linearidade das integrais de massa, o corpo final é a diferença entre o hemisfério sólido (chamar de corpo
) e a bola inteira removida (corpo ). Com densidade constante , o momento total em é
onde
são os volumes e
os centróides em
de
e
. A massa total é
Logo
- Portanto precisamos de
para o hemisfério de raio e de para a bola de raio .
Passo 4
Cálculo do volume da esfera e do hemisfério (revisão e integração rápida).
- Volume de uma esfera de raio
é conhecido:
Explicação curta: pode-se obter por integração em coordenadas esféricas com
.
- Para a bola removida (esfera sólida) com
vale
- Para o hemisfério de raio
o volume é metade do da esfera de raio :
Passo 5
Cálculo do centróide em
do pequeno sólido (bola removida).
- A bola sólida centrada em
tem centróide simples: é o centro geométrico da bola, portanto
Sem necessidade de integrar: por simetria da esfera o centróide coincide com seu centro.
Passo 6
Cálculo do centróide em
do hemisfério sólido por integração em coordenadas esféricas (aula prática).
Queremos
Queremos
Usar coordenadas esféricas centradas em
:
Os limites para o hemisfério
são
,
,
com
. Então
Separar integrais:
Calcule cada parte:
ou mais direto:
. E
Portanto
O volume
do hemisfério é
. Assim
- Resultado geral: o centróide em
de um hemisfério sólido de raio é
- Substituindo
obtemos
Passo 7
Aplicar a fórmula de superposição e calcular
final.
- Relembrando:
Substituir os valores calculados:
Calcule o numerador:
Calcule o denominador:
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