Em cada um dos problemas abaixo, encontre o valor de 
  para o qual a equação dada é exata e depois resolva-a utilizando este valor de 
  :
  ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial e precisa encontrar o valor de 
  que faz essa equação ser exata. Depois disso, vamos resolver a equação usando esse valor de 
 . O conteúdo que a gente vai usar aqui é de equações diferenciais exatas. Vamos precisar saber como verificar se uma equação é exata e como resolver uma vez que ela for exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções 
  e 
  na equação dada:
Passo 3
Para a equação ser exata, a derivada parcial de 
  em relação a 
  precisa ser igual à derivada parcial de 
  em relação a 
 . Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando 
 :
Passo 5
Calculando 
 :
Primeiro, simplificamos 
 :
Agora, derivamos em relação a 
 :
Passo 6
Agora, igualamos as duas derivadas para encontrar 
 :
Subtraindo 
  de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 
  (considerando 
 ):
Passo 7
Com 
 , a equação se torna exata. Agora, vamos resolver a equação. Sabemos que se a equação é exata, existe uma função 
  tal que:
Vamos integrar 
  em relação a 
 :
Aqui, 
  é uma função de 
  que aparece na integração.
Passo 8
Agora, derivamos 
  em relação a 
  e igualamos a 
 :
Comparando os termos:
Observamos que 
  não tem equivalente no lado direito, o que indica que 
 . No entanto, isso sugere que houve um erro na integração anterior. Vamos corrigir.
Passo 9
Na verdade, integrando 
  em relação a 
 :
Agora, derivando com relação a 
 :
Assim, temos:
Isso implica que 
 , então 
  é uma constante, que podemos chamar de 
 .
Passo 10
Portanto, a solução geral da equação é:
Podemos escrever de forma mais simples:
Resposta
O valor de 
  é 
  e a solução geral da equação é 
 , onde 
  é uma constante.