Para cada equação abaixo encontre a solução do problema de valor inicial em forma explícita.
y^{\prime}=x y^{3}\left(1+x^{2}\right)^{-1 / 2}, y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y' = x\,y^3\,(1+x^2)^{-\tfrac12},\quad y(0)=1.
Esse é um problema de equação diferencial separável: vamos separar variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Separe as variáveis e escreva as integrais correspondentes:
\int y^{-3}\,dy \;=\;\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx.
No lado esquerdo,
\int y^{-3}\,dy = -\frac{1}{2y^2}.
No lado direito, use u = 1+x^2, de modo que du = 2x\,dx, logo
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx = \int \frac{1}{2\sqrt{u}}\,du = \sqrt{u} + C = \sqrt{1+x^2} + C.
Portanto a equação integrada é
-\frac{1}{2y^2} = \sqrt{1+x^2} + C.

Passo 3

Aplique a condição inicial x=0, y(0)=1:
-\frac{1}{2\cdot1^2} = \sqrt{1+0^2} + C \;\Longrightarrow\; -\tfrac12 = 1 + C \;\Longrightarrow\; C = -\tfrac{3}{2}.
Substituindo C em
-\frac{1}{2y^2} = \sqrt{1+x^2} - \frac{3}{2}
e multiplicando ambos os lados por -2, obtemos
\frac{1}{y^2} = 3 - 2\sqrt{1+x^2}.

Passo 4

Isolando y e escolhendo o ramo positivo para satisfazer y(0)=1, temos
y(x) = \frac{1}{\sqrt{3 - 2\sqrt{1+x^2}}}.

Resposta

y(x) = \frac{1}{\sqrt{3 - 2\sqrt{1+x^2}}}.

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