Resolva a equação diferencial dada.
y^{\prime}+y^{2} \operatorname{sen}(x)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' + y^{2}\sin(x) = 0.
Este é um caso de equação separável, ou seja, dá para escrever em forma \displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y) e separar as variáveis y e x em lados diferentes para integrar.

Passo 2

Vamos isolar y' e trocar por \displaystyle \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\,y^{2}\,\sin(x).
Agora separamos as variáveis com todos os termos em y no lado esquerdo e os de x no direito:
\frac{dy}{y^{2}} = -\,\sin(x)\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y^{2}} = \int -\,\sin(x)\,dx.
Calculando cada integral:
\int y^{-2}\,dy = -\,\frac{1}{y}, \quad \int -\,\sin(x)\,dx = \cos(x).
Logo obtemos
-\,\frac{1}{y} = \cos(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicando por -1 e definindo C' = -\,C, fica
\frac{1}{y} = -\,\cos(x) + C',
ou seja
y(x) = \frac{1}{C' - \cos(x)},
sendo C' uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = \frac{1}{C - \cos(x)},
com C constante de integração.

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