Para cada equação característica a seguir, use o critério de Routh e determine o intervalo de k para a estabilidade.
s^3+18 s^2+77 s+k=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Para a equação característica
s^3 + 18,s^2 + 77,s + k = 0
use o critério de Routh e determine para quais valores de k o sistema é estável.”
Isso faz parte de Análise de Estabilidade de Sistemas, onde a gente monta a tabela de Routh–Hurwitz e exige que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos. Pra isso, vamos precisar lembrar como montar essa tabela e aplicar as condições de positividade.

Passo 2

Teoria rapidinha: o critério de Routh diz que, para um polinômio com graus decrescentes, a estabilidade (todas as raízes com parte real negativa) ocorre se, e somente se, todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh forem positivos.
Para o nosso polinômio s^3 + 18,s^2 + 77,s + k = 0, a tabela fica assim:
Potência de s Coluna 1 Coluna 2
s^3 1 77
s^2 18 k
s^1 18cdot 77 - 1cdot k18 0
s^0 k
Explicando o cálculo do elemento na linha s^1:
Usamos a fórmula genérica
a = ( primeiro e<=mento da linha acima )times( segundo e<=mento da linha acima ) - ( primeiro e<=mento da linha acima dessa )times( segundo e<=mento dessa linha )primeiro e<=mento da linha acima
Aplicando:
a = 18cdot 77 - 1cdot k18 = 1386 - k18

Passo 3

Agora impomos que cada elemento da primeira coluna seja maior que zero:
  1. Linha s^3: 1 > 0 → sempre satisfeito.
  2. Linha s^2: 18 > 0 → sempre satisfeito.
  3. Linha s^1: 1386 - k18 > 0 ;Longrightarrow; 1386 - k > 0 ;Longrightarrow; k < 1386
  4. Linha s^0: k > 0

Resposta

O sistema é estável se, e somente se,
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