Para cada equação característica a seguir, use o critério de Routh e determine o intervalo de k para a estabilidade.
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Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Para a equação característica
use o critério de Routh e determine para quais valores de
Isso faz parte de Análise de Estabilidade de Sistemas, onde a gente monta a tabela de Routh–Hurwitz e exige que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos. Pra isso, vamos precisar lembrar como montar essa tabela e aplicar as condições de positividade.
Passo 2
Teoria rapidinha: o critério de Routh diz que, para um polinômio com graus decrescentes, a estabilidade (todas as raízes com parte real negativa) ocorre se, e somente se, todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh forem positivos.
Para o nosso polinômio
, a tabela fica assim:
Potência de
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Coluna 1 | Coluna 2 |
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– |
Explicando o cálculo do elemento na linha
:
Usamos a fórmula genérica
Usamos a fórmula genérica
Aplicando:
Passo 3
Agora impomos que cada elemento da primeira coluna seja maior que zero:
- Linha
: → sempre satisfeito. - Linha
: → sempre satisfeito. - Linha
: - Linha
:
Resposta
O sistema é estável se, e somente se,
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