Para cada polinômio característico a seguir, aplique o critério de Routh e verifique se o sistema é estável ou instável. No caso de ser instável, diga quantas raizes estão no semiplano direito do plano s, e quantas estão no semiplano esquerdo desse plano.
P(s)=s^4+6 s^3+11 s^2+6 s+200.

Passo 1

Beleza, a gente tem que analisar o polinômio característico
P(s)=s^4 + 6s^3 + 11s^2 + 6s + 200
Isso cai naquele conteúdo de estabilidade de sistemas usando o Critério de Routh–Hurwitz. Ou seja, precisamos montar a tabela de Routh, verificar quantas mudanças de sinal rolarem na primeira coluna e daí saber se o sistema é estável (nenhuma mudança) ou instável (pelo menos uma mudança).

Passo 2

Primeiro a gente monta as duas primeiras linhas da tabela de Routh, que correspondem a 1, 11, 200 e 6, 6, 0 .
Linha : pega os coeficientes dos termos de ordem par:
Linha : pega os coeficientes dos termos de ordem ímpar:

Passo 3

Agora calcula a linha primeiro da linha acima & segundo da linha acima primeiro da linha ainda acima & segundo da linha ainda acima primeiro da linha acima . Cada entrada é da forma
primeiro e<=mento de s^2 = 6cdot11 - 1cdot66 = 66 - 66 = 10,
Então:
segundo e<=mento de s^2 = 6cdot200 - 1cdot06 = 12006 = 200
10, 200
Logo a linha é

Passo 4

Segue para a linha primeiro e<=mento de s^1 = 10cdot6 - 6cdot20010 = 60 - 120010 = -114, :
-114, 0
e como não tem mais termo, o próximo é zero:
Por fim a linha é só o termo constante que sobra, aqui .
Se a tabela toda ficar assim (primeira coluna destacada):
s⁴ │ 1
s³ │ 6
s² │ 10
s¹ │ −114
s⁰ │ 200

Passo 5

Agora conta as mudanças de sinal na primeira coluna:
1 → 6 (sem mudança)
6 → 10 (sem mudança)
10 → −114 (1ª mudança)
−114 → 200 (2ª mudança)
Duas mudanças de sinal = 2 raízes no semiplano direito (instáveis), o resto no semiplano esquerdo.

Resposta

O sistema é instável; há 2 raízes no semiplano direito e 2 no semiplano esquerdo do plano .

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