Para cada polinômio característico a seguir, aplique o critério de Routh e verifique se o sistema é estável ou instável. No caso de ser instável, diga quantas raizes estão no semiplano direito do plano s, e quantas estão no semiplano esquerdo desse plano.
P(s)=3 s^7+9 s^6+6 s^5+4 s^4+7 s^3+8 s^2+2 s+6.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o critério de Routh–Hurwitz e ver se o sistema com polinômio característico

é estável ou não. Se for instável, a gente diz quantas raízes estão no semiplano direito (Re e quantas no esquerdo.
Conteúdo: critério de estabilidade de Routh, que consiste em montar a tabela de Routh e contar variações de sinal na primeira coluna.

Passo 2

Primeiro, montamos as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes alternados:
Linha s^7: 3 | 6 | 7 | 2
Linha s^6: 9 | 4 | 8 | 6
Essas duas linhas são direto do polinômio: em s^7, pega 3,6,7,2; em s^6, pega 9,4,8,6.

Passo 3

Agora calculamos a linha s^5 usando a fórmula geral
Ri,j ;=;Ri+1,1,Ri+2,j+1;-;Ri+2,1,Ri+1,j+1Ri+1,1
Aqui,
  • a1 &=9cdot6 - 3cdot49=54-129=429=143, a2 =9cdot7 - 3cdot89=63-249=399=133, a3 =9cdot2 - 3cdot69=18-189=0 é a linha s^7 =
  • é a linha s^6 =
Então:
Logo, linha s^5 = .

Passo 4

Agora a linha s^4 usa s^6 e s^5 como “acima”:
Então linha s^4 = b1&=(14/3)cdot4 - 9cdot(13/3)14/3 =56/3 -117/314/3 =-61/314/3 =-6114, b2&=(14/3)cdot8 - 9cdot014/3 =112/314/3 =8, b3&=(14/3)cdot6 - 9cdot014/3 =84/314/3 =6 .

Passo 5

Agora a linha s^3 usa s^5 e s^4:
Linha s^3 = c1&=(-61/14)cdot(13/3)-(14/3)cdot8-61/14 =-793/42 -112/3-61/14 ;=;-2361/42-61/14 =2361times1442times61 =5509427approx12.90, c2&=(-61/14)cdot0-(14/3)cdot6-61/14 =-84/3-61/14 =-28-61/14 =39261approx6.43 .

Passo 6

Linha s^2 usa s^4 e s^3:
d1=(5509/427)cdot8 -(-61/14)cdot(392/61)5509/427 approx103.2 +27.9912.90 approx10.17
Então s^2 = .

Passo 7

Linha s^1 usa s^3 e s^2:
e1=10.17cdot(392/61) - (5509/427)cdot010.17 =6.43times10.1710.17 =6.43
Linha s^1 = .
E por fim s^0 = coeficiente constante = 6.

Passo 8

Agora a coluna de coeficientes principais ficou:
c s^7:;3, s^6:;9, s^5:;4.67, s^4:;-4.36, s^3:;12.90, s^2:;10.17, s^1:;6.43, s^0:;6
Contamos as variações de sinal de linha em linha:
  • → + (sem mudança)
  • → +
  • → – (1ª variação)
    – → + (2ª variação)
  • → +
  • → +
  • → +
Total de 2 variações de sinal ⇒ 2 raízes em Re(s)>0. O grau é 7, logo as outras 5 raízes estão em Re(s)<0.

Resposta

O sistema é instável. Há 2 raízes no semiplano direito (instáveis) e 5 raízes no semiplano esquerdo.

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