Para cada polinômio característico a seguir, aplique o critério de Routh e verifique se o sistema é estável ou instável. No caso de ser instável, diga quantas raizes estão no semiplano direito do plano s, e quantas estão no semiplano esquerdo desse plano.
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra usar o critério de Routh–Hurwitz e ver se o sistema com polinômio característico
é estável ou não. Se for instável, a gente diz quantas raízes estão no semiplano direito (Re e quantas no esquerdo.
Conteúdo: critério de estabilidade de Routh, que consiste em montar a tabela de Routh e contar variações de sinal na primeira coluna.
é estável ou não. Se for instável, a gente diz quantas raízes estão no semiplano direito (Re
Conteúdo: critério de estabilidade de Routh, que consiste em montar a tabela de Routh e contar variações de sinal na primeira coluna.
Passo 2
Primeiro, montamos as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes alternados:
Linha s^7: 3 | 6 | 7 | 2
Linha s^6: 9 | 4 | 8 | 6
Linha s^6: 9 | 4 | 8 | 6
Essas duas linhas são direto do polinômio: em s^7, pega 3,6,7,2; em s^6, pega 9,4,8,6.
Passo 3
Agora calculamos a linha s^5 usando a fórmula geral
Aqui,
-
é a linha s^7 = -
é a linha s^6 =
Então:
Logo, linha s^5 =
.
Passo 4
Agora a linha s^4 usa s^6 e s^5 como “acima”:
Então linha s^4 =
.
Passo 5
Agora a linha s^3 usa s^5 e s^4:
Linha s^3 =
.
Passo 6
Linha s^2 usa s^4 e s^3:
Então s^2 =
.
Passo 7
Linha s^1 usa s^3 e s^2:
Linha s^1 =
.
E por fim s^0 = coeficiente constante = 6.
E por fim s^0 = coeficiente constante = 6.
Passo 8
Agora a coluna de coeficientes principais ficou:
Contamos as variações de sinal de linha em linha:
- → + (sem mudança)
- → +
- → – (1ª variação)
– → + (2ª variação) - → +
- → +
- → +
Total de 2 variações de sinal ⇒ 2 raízes em Re(s)>0. O grau é 7, logo as outras 5 raízes estão em Re(s)<0.
Resposta
O sistema é instável. Há 2 raízes no semiplano direito (instáveis) e 5 raízes no semiplano esquerdo.