Determine o intervalo de valores de K para a estabilidade do sistema de controle com realimentação unitária, cuja função de transferência de ramo direto seja:
G2(s)=K(s+20)s(s+2)(s+3)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar para quais valores de K o sistema em realimentação unitária, com
G2(s)=K,(s+20)s,(s+2),(s+3)
é estável.
Conteúdo: Critério de estabilidade de Routh–Hurwitz.
O que vamos usar:
  1. Montar a equação característica do laço fechado;
  2. Construir a tabela de Routh e exigir que toda a primeira coluna seja positiva.

Passo 2

Primeiro, a equação característica do sistema em malha fechada unitária é
1 + G2(s) = 0Longrightarrow 1 + K,(s+20)s,(s+2),(s+3) = 0
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
s,(s+2),(s+3) + K,(s+20) = 0
Multiplicando e somando termos, o polinômio característico vira
s^3 + 5s^2 + 6s ;+; K,s + 20K = 0,
ou seja
boxeds^3 + 5s^2 + (6+K),s + 20K = 0

Passo 3

Agora montamos a tabela de Routh. Para um polinômio de 3ª ordem b1 = 5,(6+K) - 1,(20K)5 = 30 +5K -20K5 = 30 -15K5 = 6 -3K, a primeira coluna é:
s^3: a_3 | a_1
s^2: a_2 | a_0
s^1: b_1 | 0
s^0: a_0 |
No nosso caso:
a_3=1, a_2=5, a_1=6+K, a_0=20K.
Então:
s^3: 1 | 6+K
s^2: 5 | 20K
Para calcular (linha s^1, primeira coluna):
E a linha s^0 é só .

Passo 4

O critério de Routh diz que, para estabilidade, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos:
  1. na linha s^3: 1 > 0 (sempre ok)
  2. na linha s^2: 5 > 0 (sempre ok)
  3. na linha s^1: boxed0 < K < 2
  4. na linha s^0:
Juntando as duas restrições não-triviais:

Resposta

O sistema é estável para 0 < K < 2 no intervalo

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