Determine o intervalo de valores de K para a estabilidade do sistema de controle com realimentação unitária, cuja função de transferência de ramo direto seja:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar para quais valores de K o sistema em realimentação unitária, com
é estável.
Conteúdo: Critério de estabilidade de Routh–Hurwitz.
O que vamos usar:
Conteúdo: Critério de estabilidade de Routh–Hurwitz.
O que vamos usar:
- Montar a equação característica do laço fechado;
- Construir a tabela de Routh e exigir que toda a primeira coluna seja positiva.
Passo 2
Primeiro, a equação característica do sistema em malha fechada unitária é
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Multiplicando e somando termos, o polinômio característico vira
ou seja
Passo 3
Agora montamos a tabela de Routh. Para um polinômio de 3ª ordem
, a primeira coluna é:
s^3: a_3 | a_1
s^2: a_2 | a_0
s^1: b_1 | 0
s^0: a_0 |
s^2: a_2 | a_0
s^1: b_1 | 0
s^0: a_0 |
No nosso caso:
a_3=1, a_2=5, a_1=6+K, a_0=20K.
Então:
s^3: 1 | 6+K
s^2: 5 | 20K
a_3=1, a_2=5, a_1=6+K, a_0=20K.
Então:
s^3: 1 | 6+K
s^2: 5 | 20K
Para calcular
(linha s^1, primeira coluna):
E a linha s^0 é só
.
Passo 4
O critério de Routh diz que, para estabilidade, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos:
- na linha s^3: 1 > 0 (sempre ok)
- na linha s^2: 5 > 0 (sempre ok)
- na linha s^1:
- na linha s^0:
Juntando as duas restrições não-triviais:
Resposta
O sistema é estável para
no intervalo