Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função f(x) perpendiculares(s) à reta r dada:
$f(x)=x^{3}+6 x-3 \quad r: x+18 y+3=0.

Passo 1

O enunciado pede as retas tangentes ao gráfico de
f(x)=x^{3}+6x-3
que sejam perpendiculares à reta
r: x+18y+3=0.
Para isso, vamos usar o cálculo de derivada para obter a inclinação da tangente e a condição de perpendicularidade entre retas.

Passo 2

A inclinação de r é obtida isolando y:
x+18y+3=0\;\Longrightarrow\;18y=-x-3\;\Longrightarrow\;y=-\frac{1}{18}x-\frac{1}{6}.
Logo,
m_{r}=-\frac{1}{18}.

Passo 3

Duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações é -1. Se m_{t} é a inclinação da tangente, então
m_{t}\cdot m_{r}=-1 \;\Longrightarrow\; m_{t}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{18}\bigr)=-1 \;\Longrightarrow\; m_{t}=18.

Passo 4

A derivada de f dá a inclinação da tangente em cada ponto:
f'(x)=3x^{2}+6.
Para que essa inclinação seja 18, resolvemos
3x^{2}+6=18 \;\Longrightarrow\; 3x^{2}=12 \;\Longrightarrow\; x^{2}=4 \;\Longrightarrow\; x=2\quad\text{ou}\quad x=-2.

Passo 5

Agora encontramos as ordenadas correspondentes:
f(2)=2^{3}+6\cdot2-3=8+12-3=17,
f(-2)=(-2)^{3}+6\cdot(-2)-3=-8-12-3=-23.
Os pontos de tangência são (2,17) e (-2,-23).

Passo 6

Escrevendo a equação da reta tangente com inclinação 18 em cada ponto:
Para (2,17):
y-17=18(x-2) \;\Longrightarrow\; y=18x-36+17 \;\Longrightarrow\; y=18x-19.
Para (-2,-23):
y+23=18(x+2) \;\Longrightarrow\; y=18x+36-23 \;\Longrightarrow\; y=18x+13.

Resposta

As retas são
y=18x-19 \quad\text{e}\quad y=18x+13.

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