Para cada equação diferencial abaixo:
- classifique como linear ou não linear
- determine a ordem
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede duas coisas:
- classificar a equação como linear ou não linear;
- determinar a ordem da equação.
Passo 2
O que é ordem de uma equação diferencial? Ordem é o maior número de derivadas de
que aparece na equação. Exemplos rápidos:
- se aparece
a equação tem ordem ; - se o maior derivada for
a equação tem ordem .
Na equação dada o maior (e único) derivada é
. Portanto a ordem é
Passo 3
O que significa ser uma equação linear? Para uma equação diferencial de ordem
ser linear, a função desconhecida
e todas as suas derivadas devem aparecer apenas em potência
(sem produtos entre elas, sem funções não lineares de
como
,
,
, etc.) e os coeficientes dessas funções podem depender somente da variável independente (aqui
), não de
.
Para primeira ordem, a forma padrão de uma equação linear é
onde
e
são funções conhecidas de
apenas. Se a equação puder ser escrita assim (talvez dividindo por uma função de
), então é linear.
Exemplos do que seria não linear:
(porque
é não linear), ou
(produto entre
e
).
Passo 4
Aplicando a verificação à equação dada. Podemos colocá-la na forma padrão dividindo por
(observação: essa divisão só é válida para
; a classificação como linear refere-se à equação em domínios onde os coeficientes são bem definidos):
Aqui identificamos
e
, funções que dependem apenas de
. Note que
e
aparecem apenas em potência
e não há termos não lineares em
ou em derivadas.
Portanto a equação é linear (primeira ordem, coeficientes dependem só de
).
Passo 5
Breve comentário didático extra (útil para a prova): equações lineares de primeira ordem homogêneas como
são resolvidas por separação ou pelo fator integrante; a solução geral é
No nosso caso
, então
e a solução geral (em
) é
apenas para reforçar como reconhecer e resolver esse tipo de equação numa prova.
Resposta
Linear
Ordem
Ordem