Para cada equação diferencial abaixo:
  • classifique como linear ou não linear
  • determine a ordem
    x^{2} \frac{d y}{d x}+3 y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x^{2}\,\frac{dy}{dx}+3y=0
e pede duas coisas:
  • classificar a equação como linear ou não linear;
  • determinar a ordem da equação.

Passo 2

O que é ordem de uma equação diferencial? Ordem é o maior número de derivadas de y que aparece na equação. Exemplos rápidos:
  • se aparece \dfrac{d^2 y}{dx^2} a equação tem ordem 2;
  • se o maior derivada for \dfrac{dy}{dx} a equação tem ordem 1.
Na equação dada o maior (e único) derivada é \dfrac{dy}{dx}. Portanto a ordem é
\text{ordem} = 1.

Passo 3

O que significa ser uma equação linear? Para uma equação diferencial de ordem n ser linear, a função desconhecida y e todas as suas derivadas devem aparecer apenas em potência 1 (sem produtos entre elas, sem funções não lineares de y como y^{2}, \sin y, (dy/dx)^2, etc.) e os coeficientes dessas funções podem depender somente da variável independente (aqui x), não de y.
Para primeira ordem, a forma padrão de uma equação linear é
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas de x apenas. Se a equação puder ser escrita assim (talvez dividindo por uma função de x), então é linear.
Exemplos do que seria não linear: \dfrac{dy}{dx}+y^{2}=0 (porque y^{2} é não linear), ou \dfrac{dy}{dx} + y\,\dfrac{dy}{dx}=0 (produto entre y e \dfrac{dy}{dx}).

Passo 4

Aplicando a verificação à equação dada. Podemos colocá-la na forma padrão dividindo por x^{2} (observação: essa divisão só é válida para x\neq 0; a classificação como linear refere-se à equação em domínios onde os coeficientes são bem definidos):
\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x^{2}}\,y=0.
Aqui identificamos p(x)=\dfrac{3}{x^{2}} e q(x)=0, funções que dependem apenas de x. Note que y e \dfrac{dy}{dx} aparecem apenas em potência 1 e não há termos não lineares em y ou em derivadas.
Portanto a equação é linear (primeira ordem, coeficientes dependem só de x).

Passo 5

Breve comentário didático extra (útil para a prova): equações lineares de primeira ordem homogêneas como
\frac{dy}{dx}+p(x)y=0
são resolvidas por separação ou pelo fator integrante; a solução geral é
y=C\,e^{-\int p(x)\,dx}.
No nosso caso p(x)=\dfrac{3}{x^{2}}, então \displaystyle \int p(x)\,dx=\int 3x^{-2}\,dx=-\frac{3}{x} e a solução geral (em x\neq 0) é
y=C\,e^{-\left(-\tfrac{3}{x}\right)}=C\,e^{3/x},
apenas para reforçar como reconhecer e resolver esse tipo de equação numa prova.

Resposta

Linear
Ordem 1

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