Para cada equação diferencial abaixo:
  • classifique como linear ou não linear
  • determine a ordem
    y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial dada:
  • classificar se é linear ou não linear;
  • determinar a ordem da equação.
A equação fornecida é
y''+\left(y'\right)^{2}=0.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial? A ordem é a maior derivada da função desconhecida y que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada presente for y^{(3)} a equação é de ordem 3.
Na equação dada aparecem y'' (segunda derivada) e y' (primeira derivada). A maior derivada é y''. Portanto a ordem da equação é 2:
\text{ordem} = 2.

Passo 3

O que significa que uma equação diferencial seja linear? Uma equação diferencial de ordem n é linear se puder ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde as funções a_i(x) e g(x) dependem somente da variável independente (normalmente x) e NÃO dependem de y nem de suas derivadas. Em outras palavras:
  • cada termo envolvendo y aparece linearmente (como c(x)\cdot y^{(k)} ou c(x)\cdot y);
  • NÃO aparecem produtos entre y e/ou suas derivadas, nem potências (como (y')^2), nem funções não lineares de y (como \sin y, e^{y}, etc.).

Passo 4

Aplicando esse critério à equação
y''+\left(y'\right)^{2}=0,
observa-se que existe o termo \left(y'\right)^{2}, ou seja, a primeira derivada aparece elevada ao quadrado. Esse termo é um exemplo claro de não linearidade, porque envolve uma potência da derivada (produto de y' por y'). Na forma linear permitida acima isso NÃO é admitido — em uma equação linear a derivada y' só poderia aparecer multiplicada por uma função de x, nunca elevada ao quadrado nem multiplicada por outra derivada ou por y.
Portanto a equação NÃO é linear.

Passo 5

Resumo didático curto (para você decorar e usar na prova):
  • Procure a maior derivada para achar a ordem.
  • Procure por potências de y ou de y^{(k)}, produtos entre y e suas derivadas, ou funções não-lineares de y. Se qualquer um desses aparecer, a equação é não linear.
No nosso caso: maior derivada y'' → ordem 2. Aparece \left(y'\right)^{2} → não linear.

Passo 6

Uma observação útil: embora seja não linear, esta equação é do tipo que permite reduzir a ordem com a substituição v=y'. Então v'=y'' e a equação vira
v'+v^{2}=0,
que é uma equação de primeira ordem separável em v. Resolvendo rapidamente:
\frac{dv}{dx} = -v^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{dv}{v^{2}} = -dx.
Integrando:
-\frac{1}{v} = -x + C_1 \quad\Rightarrow\quad v=\frac{1}{x+C_1}.
Voltando a y:
y'=\frac{1}{x+C_1} \quad\Rightarrow\quad y=\ln|x+C_1|+C_2.
Isso mostra também como identificar tipos de equações e técnicas úteis na prova (redução de ordem por substituição).

Resposta

não linear
ordem 2

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