Para cada equação diferencial abaixo:
- classifique como linear ou não linear
- determine a ordem
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial dada:
- classificar se é linear ou não linear;
- determinar a ordem da equação.
A equação fornecida é
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial? A ordem é a maior derivada da função desconhecida
que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada presente for
a equação é de ordem 3.
Na equação dada aparecem
(segunda derivada) e
(primeira derivada). A maior derivada é
. Portanto a ordem da equação é 2:
Passo 3
O que significa que uma equação diferencial seja linear? Uma equação diferencial de ordem
é linear se puder ser escrita na forma
onde as funções
e
dependem somente da variável independente (normalmente
) e NÃO dependem de
nem de suas derivadas. Em outras palavras:
- cada termo envolvendo
aparece linearmente (como ou ); - NÃO aparecem produtos entre
e/ou suas derivadas, nem potências (como ), nem funções não lineares de (como , , etc.).
Passo 4
Aplicando esse critério à equação
observa-se que existe o termo
, ou seja, a primeira derivada aparece elevada ao quadrado. Esse termo é um exemplo claro de não linearidade, porque envolve uma potência da derivada (produto de
por
). Na forma linear permitida acima isso NÃO é admitido — em uma equação linear a derivada
só poderia aparecer multiplicada por uma função de
, nunca elevada ao quadrado nem multiplicada por outra derivada ou por
.
Portanto a equação NÃO é linear.
Passo 5
Resumo didático curto (para você decorar e usar na prova):
- Procure a maior derivada para achar a ordem.
- Procure por potências de
ou de , produtos entre e suas derivadas, ou funções não-lineares de . Se qualquer um desses aparecer, a equação é não linear.
No nosso caso: maior derivada
→ ordem
. Aparece
→ não linear.
Passo 6
Uma observação útil: embora seja não linear, esta equação é do tipo que permite reduzir a ordem com a substituição
. Então
e a equação vira
que é uma equação de primeira ordem separável em
. Resolvendo rapidamente:
Integrando:
Voltando a
:
Isso mostra também como identificar tipos de equações e técnicas úteis na prova (redução de ordem por substituição).
Resposta
não linear
ordem
ordem