Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá o seguinte problema de valor inicial:
- A equação diferencial:
. - A condição inicial:
.
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Escolhendo um método: a equação
é do tipo que permite separar as variáveis (ou, equivalentemente, é uma equação diferencial linear de 1.º ordem com coeficiente constante). Vou usar separação de variáveis porque é o caminho mais direto aqui: conseguimos isolar os fatores em
de um lado e em
do outro, e integrar.
Observação importante sobre divisão por
: ao separar vamos dividir por
. Isso exige cuidado se
pudesse ser zero em algum intervalo. No entanto, a condição inicial
garante
não é zero no ponto inicial, e a solução que encontraremos será contínua e não nula perto de
, então a divisão é válida para obter a solução buscada.
Passo 3
Separe as variáveis colocando todos os termos em
de um lado e os termos em
do outro:
Aqui a ideia é simples: tratar
e
como diferenciais formais e reorganizar para integrar.
Passo 4
Integre ambos os lados:
As integrais são padrão:
e
, onde
é a constante de integração. Assim:
Explanação rápida: a primitiva de
é o logaritmo natural em valor absoluto, porque a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Resolva para
exponenciando ambos os lados:
Escrevendo
e lembrando que o sinal pode ser absorvido na constante, obtemos a forma geral
onde
é uma constante real arbitrária (pode ser positiva ou negativa).
Passo 6
Use a condição inicial
para determinar a constante
:
Portanto
.
Passo 7
Substituindo a constante na solução geral, a solução do problema de valor inicial é
Passo 8
Verificação rápida: calcule a derivada
E calcule
:
Como
é satisfeita, e a condição
também, a solução está correta.