\frac{d y}{d x}=x y
Resolva o problema de valor inicial:
\frac{d y}{d x}=3 y, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá o seguinte problema de valor inicial:
  • A equação diferencial: \dfrac{dy}{dx}=3y.
  • A condição inicial: y(0)=2.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Escolhendo um método: a equação \dfrac{dy}{dx}=3y é do tipo que permite separar as variáveis (ou, equivalentemente, é uma equação diferencial linear de 1.º ordem com coeficiente constante). Vou usar separação de variáveis porque é o caminho mais direto aqui: conseguimos isolar os fatores em y de um lado e em x do outro, e integrar.
Observação importante sobre divisão por y: ao separar vamos dividir por y. Isso exige cuidado se y pudesse ser zero em algum intervalo. No entanto, a condição inicial y(0)=2 garante y não é zero no ponto inicial, e a solução que encontraremos será contínua e não nula perto de x=0, então a divisão é válida para obter a solução buscada.

Passo 3

Separe as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e os termos em x do outro:
\frac{1}{y}\,dy = 3\,dx.
Aqui a ideia é simples: tratar dy e dx como diferenciais formais e reorganizar para integrar.

Passo 4

Integre ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,dx.
As integrais são padrão: \int \dfrac{1}{y}\,dy = \ln|y| e \int 3\,dx = 3x + C, onde C é a constante de integração. Assim:
\ln|y| = 3x + C.
Explanação rápida: a primitiva de 1/y é o logaritmo natural em valor absoluto, porque a derivada de \ln|y| em relação a y é 1/y.

Passo 5

Resolva para y exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{3x + C} = e^{C} e^{3x}.
Escrevendo A = e^{C}>0 e lembrando que o sinal pode ser absorvido na constante, obtemos a forma geral
y(x) = C_1 e^{3x},
onde C_1 é uma constante real arbitrária (pode ser positiva ou negativa).

Passo 6

Use a condição inicial y(0)=2 para determinar a constante C_1:
y(0)=C_1 e^{0}=C_1 = 2.
Portanto C_1=2.

Passo 7

Substituindo a constante na solução geral, a solução do problema de valor inicial é
y(x)=2e^{3x}.

Passo 8

Verificação rápida: calcule a derivada
\frac{dy}{dx} = 2\cdot 3 e^{3x}=6e^{3x}.
E calcule 3y:
3y = 3\cdot(2e^{3x})=6e^{3x}.
Como \dfrac{dy}{dx}=3y é satisfeita, e a condição y(0)=2 também, a solução está correta.

Resposta

y(x)=2e^{3x}

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