Cada uma das equações de (a) a (e) descreve o movimento de uma partícula que tem mesma trajetória - o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. Embora a trajetória de cada partícula de (a) a (e) seja a mesma, o comportamento, ou a “dinâmica”, de cada partícula é diferente. Para cada partícula, responda às questões a seguir.
i. A partícula tem módulo de velocidade constante? Em caso afirmativo, qual módulo?
ii. O vetor aceleração da partícula é sempre ortogonal a seu vetor velocidade?
iii. A partícula se move no sentido horário ou anti-horário ao redor do círculo?
iv. A partícula começa no ponto (1,0) ?
(c) \mathbf{r}(t)=\cos (t-\pi / 2) \mathbf{i}+\operatorname{sen}(t-\pi / 2) \mathbf{j}, \quad t \geq 0

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\mathbf{r}(t)=\cos\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr)\,\mathbf{i}+\sin\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr)\,\mathbf{j},\quad t\ge0,
que descreve o círculo unitário x^2+y^2=1. Precisamos: i) achar o módulo da velocidade e ver se é constante; ii) verificar se a aceleração é sempre ortogonal à velocidade; iii) determinar sentido de varredura (horário ou anti-horário); iv) checar o ponto inicial.

Passo 2

Primeiro simplificamos a parametrização usando identidades:
\cos\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr)=\sin t,\qquad \sin\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr)=-\cos t,
logo
\mathbf{r}(t)=\sin t\,\mathbf{i}-\cos t\,\mathbf{j}.
Diferenciando, obtemos a velocidade
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}.
O módulo é
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{\cos^2t+\sin^2t}=1,
portanto a partícula tem módulo de velocidade constante igual a 1.

Passo 3

Diferenciando novamente, a aceleração é
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=-\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}.
O produto escalar com \mathbf{v}(t) é
\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t)=\cos t\bigl(-\sin t\bigr)+\sin t\bigl(\cos t\bigr)=0,
logo \mathbf{a}(t) é sempre ortogonal a \mathbf{v}(t).

Passo 4

No instante t=0,
\mathbf{r}(0)=(\sin0,\,-\cos0)=(0,-1),\qquad \mathbf{v}(0)=(\cos0,\sin0)=(1,0).
A partícula parte do ponto inferior (0,-1) e, com velocidade (1,0), move-se em direção a (1,0). Isso corresponde a um movimento no sentido horário ao redor do círculo.

Passo 5

Vimos que \mathbf{r}(0)=(0,-1)\neq(1,0), logo a partícula não começa em (1,0).

Resposta

i. Sim, a partícula tem velocidade de módulo constante igual a 1.
ii. Sim, o vetor aceleração é sempre ortogonal ao vetor velocidade.
iii. O movimento é no sentido horário.
iv. Não, ela não começa em (1,0).

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