Cada uma das equações de (a) a (e) descreve o movimento de uma partícula que tem mesma trajetória - o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. Embora a trajetória de cada partícula de (a) a (e) seja a mesma, o comportamento, ou a “dinâmica”, de cada partícula é diferente. Para cada partícula, responda às questões a seguir.
i. A partícula tem módulo de velocidade constante? Em caso afirmativo, qual módulo?
ii. O vetor aceleração da partícula é sempre ortogonal a seu vetor velocidade?
iii. A partícula se move no sentido horário ou anti-horário ao redor do círculo?
iv. A partícula começa no ponto (1,0) ?
(d) \mathbf{r}(t)=(\cos t) \mathbf{i}-(\operatorname{sen} t) \mathbf{j}, \quad t \geq 0

Passo 1

O enunciado dá a trajetória \mathbf{r}(t)=(\cos t)\,\mathbf{i}-(\operatorname{sen} t)\,\mathbf{j}, t\ge0, que vive no círculo unitário. Precisamos usar cálculo vetorial (derivadas e produto escalar) para responder:
i. se a velocidade tem módulo constante e qual;
ii. se \mathbf{a}(t) é sempre ortogonal a \mathbf{v}(t);
iii. sentido de percor­rência (horário ou anti-horário);
iv. ponto inicial \mathbf{r}(0).

Passo 2

Derivando para obter a velocidade e seu módulo: \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(-\operatorname{sen} t)\,\mathbf{i}-(\cos t)\,\mathbf{j}.
O módulo é
\|\mathbf{v}(t)\| =\sqrt{(-\operatorname{sen} t)^{2}+(-\cos t)^{2}} =\sqrt{\operatorname{sen}^{2}t+\cos^{2}t} =1,
logo a velocidade tem módulo constante igual a 1.

Passo 3

Derivando de novo para a aceleração: \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=(-\cos t)\,\mathbf{i}+(\operatorname{sen} t)\,\mathbf{j}.
O produto escalar é
\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t) =(-\operatorname{sen}t)(-\cos t)+(-\cos t)(\operatorname{sen}t) =\operatorname{sen}t\cos t-\operatorname{sen}t\cos t =0.
Como o produto escalar é zero em todo t, \mathbf{a}(t) é sempre ortogonal a \mathbf{v}(t).

Passo 4

Para ver o sentido, olhamos \mathbf{v}(0)=(-\operatorname{sen}0,\,-\cos0)=(0,-1).
No ponto (1,0), um vetor velocidade pointing para baixo indica que a partícula desce pelo círculo, ou seja, percorre no sentido horário.

Passo 5

A posição inicial é
\mathbf{r}(0)=(\cos0,\,-\operatorname{sen}0)=(1,0),
logo a partícula começa em (1,0).

Resposta

i. Sim. O módulo da velocidade é constante e vale 1.
ii. Sim. O vetor aceleração é sempre ortogonal ao vetor velocidade.
iii. A partícula se move no sentido horário.
iv. Sim. A partícula começa no ponto (1,0).

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