Cada uma das equações de (a) a (e) descreve o movimento de uma partícula que tem mesma trajetória - o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. Embora a trajetória de cada partícula de (a) a (e) seja a mesma, o comportamento, ou a “dinâmica”, de cada partícula é diferente. Para cada partícula, responda às questões a seguir.
i. A partícula tem módulo de velocidade constante? Em caso afirmativo, qual módulo?
ii. O vetor aceleração da partícula é sempre ortogonal a seu vetor velocidade?
iii. A partícula se move no sentido horário ou anti-horário ao redor do círculo?
iv. A partícula começa no ponto (1,0) ?
(b) \mathbf{r}(t)=\cos (2 t) \mathbf{i}+\operatorname{sen}(2 t) \mathbf{j}, \quad t \geq 0

Passo 1

O enunciado dá a parametrização \mathbf{r}(t)=\cos(2t)\,\mathbf{i}+\sin(2t)\,\mathbf{j}, t\ge0, que descreve movimento no círculo unitário. Para analisar cada item, vamos usar conceitos de derivadas de curvas paramétricas, cálculo de módulo de velocidade, produto escalar para ortogonalidade e análise do ângulo para o sentido de movimento.

Passo 2

Calculamos o vetor velocidade \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) e seu módulo:
\mathbf{v}(t) =\frac{d}{dt}\bigl(\cos(2t)\bigr)\,\mathbf{i} +\frac{d}{dt}\bigl(\sin(2t)\bigr)\,\mathbf{j} =-2\sin(2t)\,\mathbf{i}+2\cos(2t)\,\mathbf{j}.
O módulo da velocidade é
|\mathbf{v}(t)| =\sqrt{(-2\sin(2t))^2+(2\cos(2t))^2} =\sqrt{4\sin^2(2t)+4\cos^2(2t)} =2,
logo o módulo é constante e igual a 2.

Passo 3

Calculamos o vetor aceleração \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t) e verificamos ortogonalidade:
\mathbf{a}(t) =\frac{d}{dt}\bigl(-2\sin(2t)\bigr)\,\mathbf{i} +\frac{d}{dt}\bigl(2\cos(2t)\bigr)\,\mathbf{j} =-4\cos(2t)\,\mathbf{i}-4\sin(2t)\,\mathbf{j}.
O produto escalar \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t) é
(-2\sin(2t))(-4\cos(2t))+(2\cos(2t))(-4\sin(2t)) =8\sin(2t)\cos(2t)-8\cos(2t)\sin(2t)=0,
logo \mathbf{a}(t) é sempre ortogonal a \mathbf{v}(t).

Passo 4

Como o parâmetro aparece em \cos(2t) e \sin(2t) com coeficiente positivo 2, o ângulo \theta=2t aumenta com t. Isso significa movimento no sentido anti-horário. Por fim, no instante t=0
\mathbf{r}(0)=\cos(0)\,\mathbf{i}+\sin(0)\,\mathbf{j} =(1,0),
portanto a partícula começa em (1,0).

Resposta

i. Sim, o módulo da velocidade é constante e vale 2.
ii. Sim, o vetor aceleração é sempre ortogonal ao vetor velocidade.
iii. A partícula se move no sentido anti-horário.
iv. Sim, a partícula começa no ponto (1,0).

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