Para cada uma das equações a seguir:
  • Classifique cada uma delas como sendo separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata.
  • Determine a solução geral de cada equação diferencial dada.
    Item 3. x d x-\cos y d y=0, satisfazendo -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,dx-\cos y\,dy=0,
com a informação de domínio -\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2}. As tarefas são:
  • classificar a equação entre as opções: separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata;
  • determinar a solução geral da equação (ou seja, a família de soluções com constante de integração).

Passo 2

Escrever a equação no formato padrão M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Aqui temos
M(x,y)=x,\qquad N(x,y)=-\cos y,
ou seja a equação é
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
Vou verificar se é exata: calcular as derivadas parciais \partial M/\partial y e \partial N/\partial x:
\frac{\partial M}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=0.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} (ambas zero), a forma é exata. Explicando: “exata” significa que existe uma função \Psi(x,y) tal que d\Psi=M\,dx+N\,dy; então a solução se obtém por \Psi(x,y)=\text{constante}.

Passo 3

Também é útil ver se a equação é separável. Reescrevendo os diferenciais:
x\,dx=\cos y\,dy.
Isso mostra que as variáveis estão separadas (todas as partes em x num lado e todas as em y no outro). Definição rápida: uma equação é separável se pode ser colocada na forma g(x)\,dx=h(y)\,dy. Aqui isso ocorre com g(x)=x e h(y)=\cos y. Conclusão de classificação: a equação é separável e também exata. Não é linear na forma usual dy/dx + P(x)y = Q(x), nem é da forma de Bernoulli, nem homogênea (essas não se aplicam neste caso).

Passo 4

Resolver usando separação (o mesmo resultado pode ser obtido via potencial \Psi por exatidão). Integramos ambos os lados:
\int x\,dx=\int \cos y\,dy.
Calcule as integrais passo a passo:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C_1,
\int \cos y\,dy=\sin y + C_2.
Como as constantes de integração de ambos os lados podem ser combinadas numa única constante, igualamos as primitivas:
\frac{x^{2}}{2}+C_1=\sin y + C_2 \quad\Rightarrow\quad \frac{x^{2}}{2}=\sin y + C,
onde C=C_2-C_1 é constante arbitrária real. Esta é a forma implícita da solução geral.

Passo 5

Organizando a solução implícita de modo mais usual:
\sin y=\frac{x^{2}}{2}+C.
Explicação do que significa cada símbolo: y é a função incógnita de x, C\in\mathbb{R} é a constante de integração que caracteriza cada curva solução. A igualdade acima define a família de soluções implícitas.

Passo 6

Se for desejável escrever y explicitamente em função de x, usa-se a inversa do seno. Como \sin y=A admite múltiplas soluções devido à periodicidade, a forma explícita geral é
y=\arcsin\!\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)+2k\pi \quad\text{ou}\quad y=\pi-\arcsin\!\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)+2k\pi,
com k\in\mathbb{Z}. Observação importante: para que essas expressões façam sentido é necessário que o argumento da função seno esteja no intervalo [-1,1], isto é,
-1\le \frac{x^{2}}{2}+C\le 1,
o que impõe uma restrição nas combinações de C e do x considerado. Por isso a forma implícita \sin y=\dfrac{x^{2}}{2}+C é muitas vezes a mais adequada em provas, pois evita ter que escolher ramos e verificar restrições.

Passo 7

Resumo final do procedimento (dicas para a prova): ao ver x\,dx-\cos y\,dy=0 — reconheça que basta rearranjar para x\,dx=\cos y\,dy e integrar; se quiser justificar exatidão, escreva M=x, N=-\cos y e confirme \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. Guarde a solução implícita e, se necessário, use \arcsin com cuidado quanto ao domínio.

Resposta

\displaystyle \text{Classificação: separável e exata.}çãá
\displaystyle \text{Solução geral (implícita): }\sin y=\frac{x^{2}}{2}+C,\; C\in\mathbb{R}.çãí
\displaystyle \text{Solução explícita (ramos): }y=\arcsin\!\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)+2k\pi\\ \text{ou}\\ y=\pi-\arcsin\!\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z},çãí
sujeito a -1\le \dfrac{x^{2}}{2}+C\le 1.

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