Para cada uma das equações a seguir:
- Classifique cada uma delas como sendo separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata.
- Determine a solução geral de cada equação diferencial dada.
Item 3.
, satisfazendo
.
Item 3.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com a informação de domínio
. As tarefas são:
- classificar a equação entre as opções: separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata;
- determinar a solução geral da equação (ou seja, a família de soluções com constante de integração).
Passo 2
Escrever a equação no formato padrão
. Aqui temos
ou seja a equação é
Vou verificar se é exata: calcular as derivadas parciais
e
:
Como
(ambas zero), a forma é exata. Explicando: “exata” significa que existe uma função
tal que
; então a solução se obtém por
.
Passo 3
Também é útil ver se a equação é separável. Reescrevendo os diferenciais:
Isso mostra que as variáveis estão separadas (todas as partes em
num lado e todas as em
no outro). Definição rápida: uma equação é separável se pode ser colocada na forma
. Aqui isso ocorre com
e
. Conclusão de classificação: a equação é separável e também exata. Não é linear na forma usual
, nem é da forma de Bernoulli, nem homogênea (essas não se aplicam neste caso).
Passo 4
Resolver usando separação (o mesmo resultado pode ser obtido via potencial
por exatidão). Integramos ambos os lados:
Calcule as integrais passo a passo:
Como as constantes de integração de ambos os lados podem ser combinadas numa única constante, igualamos as primitivas:
onde
é constante arbitrária real. Esta é a forma implícita da solução geral.
Passo 5
Organizando a solução implícita de modo mais usual:
Explicação do que significa cada símbolo:
é a função incógnita de
,
é a constante de integração que caracteriza cada curva solução. A igualdade acima define a família de soluções implícitas.
Passo 6
Se for desejável escrever
explicitamente em função de
, usa-se a inversa do seno. Como
admite múltiplas soluções devido à periodicidade, a forma explícita geral é
com
. Observação importante: para que essas expressões façam sentido é necessário que o argumento da função seno esteja no intervalo
, isto é,
o que impõe uma restrição nas combinações de
e do
considerado. Por isso a forma implícita
é muitas vezes a mais adequada em provas, pois evita ter que escolher ramos e verificar restrições.
Passo 7
Resumo final do procedimento (dicas para a prova): ao ver
— reconheça que basta rearranjar para
e integrar; se quiser justificar exatidão, escreva
,
e confirme
. Guarde a solução implícita e, se necessário, use
com cuidado quanto ao domínio.
Resposta
sujeito a