Para cada uma das equações a seguir:
- Classifique cada uma delas como sendo separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata.
- Determine a solução geral de cada equação diferencial dada.
Item 2.
.
Item 2.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a equação
As tarefas são:
- Classificar a equação entre: separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata (pode ser mais de uma dessas categorias, então verificar cada uma).
- Determinar a solução geral da equação diferencial.
Dados extraídos da equação (vou usar esses símbolos adiante):
-
(coeficiente de ). -
(coeficiente de ).
Passo 2
Teste se a equação é separável.
Definição rápida (sem jargão): uma equação é separável se puder ser escrita na forma
ou, em termos da derivada,
. Isso significa que todos os termos em
ficam multiplicando
e todos os termos em
ficam multiplicando
, de modo que separamos variáveis.
Aplicando à nossa equação, tentaríamos escrever
Não se consegue escrever o lado direito como produto de uma função só de
por uma função só de
. Portanto a equação NÃO é separável.
Passo 3
Teste se a equação é homogênea.
Definição rápida: uma função
é homogênea de grau
se
para todo
. Uma equação do tipo
é homogênea se
e
são homogêneas do mesmo grau. Neste caso costuma-se transformar por
.
Verificando
e
:
tem um termo
(grau 2) e um termo
(grau 1), logo
não é homogênea de grau único. Já
tem termos de grau 1. Como
e
não têm o mesmo grau homogêneo, a equação NÃO é homogênea.
Passo 4
Teste se a equação é linear (em
) ou de Bernoulli.
Para ver linearidade em
escrevemos a equação na forma padrão
. A partir da equação dada:
Tentar manipular para isolar
numa forma linear leva a dependência mista de
e
no denominador; não é possível escrever
com
e
dependendo apenas de
. Portanto NÃO é linear na forma usual.
Equação de Bernoulli tem a forma
. Aqui o lado direito não tem o formato
mais um termo proporcional a
só com funções de
. Logo a equação também NÃO é de Bernoulli.
Passo 5
Teste se a equação é exata — aqui vem o passo decisivo.
Definição didática: uma equação
é exata se existe uma função
tal que
e
. Uma condição prática necessária (e suficiente em domínios simples) é verificar se
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação é EXATA. Bom sinal — isso nos dá um caminho direto para achar a solução geral.
Passo 6
Resolver a equação exata: procurar a função potencial
.
Pela definição, queremos
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque integramos em
).
Passo 7
Determinar
usando a segunda condição
.
Calcule a derivada de
em relação a
:
Essa expressão deve ser igual a
. Igualando:
Integramos em
:
onde
é uma constante (aqui posso juntar com a constante geral da solução implícita).
Substituindo
em
obtemos a potencial completo:
A solução geral da equação exata é a curva de nível
ou seja
onde
é a constante arbitrária de integração.
Observação prática: pode multiplicar tudo por
para retirar a fração se preferir:
Se quiser resolver explicitamente para
(nem sempre necessário), trata-se de uma equação quadrática em
:
cuja solução seria
Mas a forma implícita
é perfeitamente aceitável e mais compacta.
Resposta
Classificação: exata (não separável, não homogênea, não linear, não de Bernoulli).
Solução geral: .
Solução geral: