Para cada uma das equações a seguir:
  • Classifique cada uma delas como sendo separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata.
  • Determine a solução geral de cada equação diferencial dada.
    Item 2.
    \left(3 x^{2}+y\right) d x+(x+y) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a equação
\left(3 x^{2}+y\right)\,dx+(x+y)\,dy=0.
As tarefas são:
  • Classificar a equação entre: separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata (pode ser mais de uma dessas categorias, então verificar cada uma).
  • Determinar a solução geral da equação diferencial.
Dados extraídos da equação (vou usar esses símbolos adiante):
  • M(x,y)=3x^{2}+y (coeficiente de dx).
  • N(x,y)=x+y (coeficiente de dy).

Passo 2

Teste se a equação é separável.
Definição rápida (sem jargão): uma equação é separável se puder ser escrita na forma f(x)\,dx+g(y)\,dy=0 ou, em termos da derivada, \dfrac{dy}{dx}=F(x)G(y). Isso significa que todos os termos em x ficam multiplicando dx e todos os termos em y ficam multiplicando dy, de modo que separamos variáveis.
Aplicando à nossa equação, tentaríamos escrever
\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^{2}+y}{x+y}.
Não se consegue escrever o lado direito como produto de uma função só de x por uma função só de y. Portanto a equação NÃO é separável.

Passo 3

Teste se a equação é homogênea.
Definição rápida: uma função F(x,y) é homogênea de grau k se F(tx,ty)=t^{k}F(x,y) para todo t. Uma equação do tipo M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é homogênea se M e N são homogêneas do mesmo grau. Neste caso costuma-se transformar por y=ux.
Verificando M e N:
M(x,y)=3x^{2}+y
tem um termo 3x^{2} (grau 2) e um termo y (grau 1), logo M não é homogênea de grau único. Já
N(x,y)=x+y
tem termos de grau 1. Como M e N não têm o mesmo grau homogêneo, a equação NÃO é homogênea.

Passo 4

Teste se a equação é linear (em y) ou de Bernoulli.
Para ver linearidade em y escrevemos a equação na forma padrão \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x). A partir da equação dada:
\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^{2}+y}{x+y}.
Tentar manipular para isolar \dfrac{dy}{dx} numa forma linear leva a dependência mista de x e y no denominador; não é possível escrever \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x) com P e Q dependendo apenas de x. Portanto NÃO é linear na forma usual.
Equação de Bernoulli tem a forma \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^{n}. Aqui o lado direito não tem o formato p(x)y mais um termo proporcional a y^{n} só com funções de x. Logo a equação também NÃO é de Bernoulli.

Passo 5

Teste se a equação é exata — aqui vem o passo decisivo.
Definição didática: uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=M e \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N. Uma condição prática necessária (e suficiente em domínios simples) é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}+y\bigr)=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x+y\bigr)=1.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}, a equação é EXATA. Bom sinal — isso nos dá um caminho direto para achar a solução geral.

Passo 6

Resolver a equação exata: procurar a função potencial \Phi(x,y).
Pela definição, queremos \Phi tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=3x^{2}+y, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y)=x+y.
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int (3x^{2}+y)\,dx = \int 3x^{2}\,dx + \int y\,dx = x^{3}+x y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque integramos em x).

Passo 7

Determinar h(y) usando a segunda condição \partial \Phi/\partial y = N.
Calcule a derivada de \Phi em relação a y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+x y + h(y)\bigr)=x + h'(y).
Essa expressão deve ser igual a N(x,y)=x+y. Igualando:
x + h'(y)=x+y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=y.
Integramos em y:
h(y)=\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2} + C_0,
onde C_0 é uma constante (aqui posso juntar com a constante geral da solução implícita).
Substituindo h(y) em \Phi obtemos a potencial completo:
\Phi(x,y)=x^{3}+x y+\frac{y^{2}}{2}.
A solução geral da equação exata é a curva de nível
\Phi(x,y)=C,
ou seja
x^{3}+x y+\frac{y^{2}}{2}=C,
onde C é a constante arbitrária de integração.
Observação prática: pode multiplicar tudo por 2 para retirar a fração se preferir:
2x^{3}+2xy+y^{2}=C_1.
Se quiser resolver explicitamente para y (nem sempre necessário), trata-se de uma equação quadrática em y:
y^{2}+2x y + 2x^{3}-C_1=0,
cuja solução seria
y=-x\pm\sqrt{x^{2}-2x^{3}+C_1}.
Mas a forma implícita \,x^{3}+x y+\dfrac{y^{2}}{2}=C é perfeitamente aceitável e mais compacta.

Resposta

Classificação: exata (não separável, não homogênea, não linear, não de Bernoulli).
Solução geral: \;x^{3}+x y+\dfrac{y^{2}}{2}=C.

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